Аналитическое представление вольт-амперных характеристик

Часто необходимо иметь аналитические выражения для вольт-амперных характеристик нелинейных элементов. Эти выражения могут лишь приближенно представлять ВАХ, поскольку физические закономерности, которым подчиняются зависимости между напряжениями и токами в электронных и полупроводниковых приборах, не выражаются аналитически.

Задача приближенного аналитического представления функции, заданной графически или таблицей значений, в заданных пределах изменения ее аргумента (независимой переменной) предполагает, во-первых, выбор аппроксимирующей функции, т. е. функции, с помощью которой приближенно представляется заданная зависимость, и, во-вторых, выбор критерия оценки “близости” этой зависимости и аппроксимирующей ее функция.

В качестве аппроксимирующих функций используются, чаще всего, алгебраические полиномы, некоторые дробные рациональные и трансцендентные функции или совокупность отрезков прямых линий.

Будем считать, что ВАХ нелинейного элемента i = F(u) задана графически, т. е. определена в каждой точке интервала U_min ≤ u ≤ U_mаx, и представляет собой однозначную непрерывную функцию переменной u. Тогда задача аналитического представления вольт-амперной характеристики может рассматриваться как задача аппроксимации заданной функции ξ(х) выбранной аппроксимирующей функцией f(x).

О близости аппроксимирующей f(x) и аппроксимируемой ξ(х) функций или, иными словами, о погрешности аппроксимации, обычно судят по наибольшему абсолютному значению разности между этими функциями в интервале аппроксимации а ≤ х ≤b, т. е. по величине

. (10)

Часто критерием близости выбирается среднее квадратическое значение разности между указанными функциями в интервале аппроксимации, т. е, величина

Иногда под близостью двух функций f(x) и ξ(х) понимают совпадение в заданной точке х =Х₀ самих функций и п + 1 их производных.

Наиболее распространенным способом приближения аналитической функции к заданной является интерполяция (метод выбранных точек), когда добиваются совпадения функций f(x) и ξ(х) в выбранных точках (узлах интерполяции) x_k, k = 0, 1, 2,..., n.

Погрешность аппроксимации может быть достигнута тем меньшей, чем больше число варьируемых параметров входит в аппроксимирующую функцию, т. е., например, чем выше степень аппроксимирующего полинома или чем больше число отрезков прямых содержит аппроксимирующая линейно-ломаная функция. Одновременно с этим, естественно, растет объем вычислении как при решении задачи аппроксимации, так и при последующем анализе нелинейной цепи. Простота этого анализа наряду с особенностями аппроксимируемой функции в пределах интервала аппроксимации служит одним из важнейших критериев при выборе типа аппроксимирующей функции.

В задачах аппроксимации вольт-амперных характеристик электронных и полупроводниковых приборов стремиться к высокой точности их воспроизведения, как правило, нет необходимости ввиду значительного разброса характеристик приборов от образца к образцу и существенного влияния на них дестабилизирующих факторов, например, температуры в полупроводниковых приборах. В большинстве случаев достаточно “правильно” воспроизвести общий усредненный характер зависимости i = F(u) в пределах ее рабочего интервала.

Полиномиальная аппроксимация. В качестве аппроксимирующей функции в задачах аналитического представления вольт-амперных характеристик очень часто используются алгебраические полиномы

f(x) = a0 + a1x + a2x2 +...a_nxⁿ

той или иной степени.

Постоянные a₀, a₁, a₂,..., a_n представляют собой варьируемые параметры, значения которых выбираются такими, чтобы в интервале аппроксимации а ≤ х ≤b свести к минимуму погрешность аппроксимации в соответствии с выбранным критерием близости.

В простейшем случае критерием близости может служить совпадение значений аппроксимирующей и аппроксимируемой функций в возможно большем числе выбранных точек, расположенных в интервале аппроксимации. Соответствующий метод приближенного воспроизведения функций носит, как мы уже упоминали, название интерполирования, а дискретные точки, в которых требуется точное совпадение функций f(x) и ξ(х), называются узлами интерполирования. Их число на единицу превышает степень интерполирующего полинома. Действительно, записывая равенство функций f(x_k) = ξ(х_k) в каждом из узлов интерполирования x_k, k = 0, 1, 2,..., n, получим систему из n + 1 линейных уравнений

(11)

с таким же числом неизвестных коэффициентов a₀, a₁, a₂,.., a_n интерполирующего полинома.

В теории интерполирования функций доказывается, что система уравнений (11) имеет единственное решение. Единственным, следовательно, будет и решение рассматриваемой задачи интерполирования вольт-амперной характеристики полиномом выбранной степени.

Приведем простейший пример интерполирования в интервале 0≤ х ≤1,5 полиномом первой степени f(x) =a₀+ a₁х функции ξ(х) =1- е^-х, заданной аналитически. Расположим узлы интерполирования, а их должно быть п + 1 = 2, при x ₀ = 0,1 и х ₁ = 1,0. Тогда система уравнений относительно искомых коэффициентов а₀ и а₁ будет такой: а₀ + а₁ ∙ 0,1 = =1- е^-0,1 и а₀ + а₁ = 1- е^-1. Из ее решения следует а₀ = 0,036, а₁ = 0,597 и f(x) = 0,036 + 0,597x. Графики функций f(x) и ξ(х) приведены на рис. 17. Они показывают, что точность воспроизведения заданной функции невелика. В заданном интервале 0≤ х ≤ 1,5 наибольшая погрешность | f(x) - ξ(x) |, т. е. max| f(x) - ξ (x) | находится на одной из границ интервала при х =-1,5 и составляет 0,158. Ее можно уменьшить, выбрав другие узлы интерполирования и, тем более, повысив степень интерполирующего полинома. Так, графики той же функции ξ (х) =1- е^-х и интерполирующего полинома второй степени с узлами интерполирования x ₀= 0,15, х ₁= 0,6 и х ₂= 1,2 практически совпадают.

Рис. 17. Графики функций f(x) и ξ(х) Рис. 18. График разности функций

f(x) и ξ(х)

Рис. 19. Аппроксимирующей функция f(x) и функция ξ(х)

На рис. 18 приведен график разности этих функций, из которого следует, что погрешность в том же заданном интервале не превышает 0,026, т. е. уменьшилась по сравнению с линейной интерполяцией в 6 раз.

Одним из эффективных методов аппроксимации функций, в котором погрешность аппроксимации контролируется во всем интервале приближения а ≤ х ≤ b, а не в его дискретных точках, является метод наилучшего равномерного приближения (аппроксимации) функций (приближения по П. Л. Чебышеву). В этом методе параметры аппроксимирующей функции выбираются такими, чтобы в интервале приближения наибольшее по абсолютной величине отклонение функции f(x) от непрерывной функции ξ(х) было бы минимально возможным, или, используя обозначения (10), чтобы в интервале а ≤ х ≤ b

. (12)

В рассмотренном выше примере этому критерию удовлетворяет полином f(x) = 0,071 + 0,518х. Наибольшие его отклонения от функции ξ(х) =1- е^-х в интервале 0 ≤ х ≤1,5 расположены при х = 0, х = х _m =0,658 и х =1,5 (см. рис. 19), причем, что очень важно, все они равны по абсолютной величине. Легко понять, что любое изменение наклона (a₁) или уровня (a₀) полинома f(x), которое ведет к уменьшению экстремального отклонения в двух из трех указанных точек, увеличивает отклонения в оставшейся точке. Таким образом, полином f(x) =0,071+0,518 х из всех полиномов первой степени действительно минимизирует абсолютную величину отклонения от функции 1- е^-х в интервале 0 ≤ х ≤ 1.

В теории аппроксимации функций доказывается, что наибольшее по абсолютной величине отклонение полинома f(x) степени п от непрерывной функции ξ(х) будет минимально возможным, если в интервале приближения а ≤ х ≤ b разность f(x) - ξ(х) не меньше, чем п + 2 раза принимает свои последовательно чередующиеся предельные наибольшие f(x) - ξ(х) = L > 0 и наименьшие f(x) - ξ(х) = -L значения (критерий Чебышева).

Рис. 20. Характер графика разности f(x) - ξ(х) для полинома f(x) пятой степени

Характер графика разности f(x) - ξ(х) для полинома f(x) пятой степени, удовлетворяющего этому критерию, приведен на рис. 20. Этому же критерию удовлетворяет полином f(x) в рассмотренном выше примере (см, рис. 18).

Во многих прикладных задачах находит применение полиномиальная аппроксимация по среднеквадратическому критерию близости, когда параметры аппроксимирующей функции f(x) выбираются из условия обращения в минимум в интервале аппроксимации а≤ х ≤b квадрата отклонения функции f(x) от заданной непрерывной функции ξ(х), т. е., из условия:

. (12.1)

В соответствии с правилами отыскания экстремумов решение задачи сводится к решению системы линейных уравнении, которая образуется в результате приравнивания к нулю первых частных производных функции Λ по каждому из искомых коэффициентов а_каппроксимирующего полинома f(x), т. е. уравнений

Доказано, что и эта система уравнений имеет единственное решение. В простейших случаях оно находится аналитически, а в общем случае - численно. Так, в рассматриваемом примере система уравнений при аппроксимации в интервале 0 ≤ х ≤ 1,5 функции 1- е^-х полиномом первой степени такова:

или после преобразований:

3 а₀ + 2,25 а₁ = 1 + 2 ∙ е^-1,5; 2,25 а₀ + 2,25 а₁ = 0,25 - 5 ∙ е^-1,5.

Заметим, что, как правило, средняя квадратическая погрешность наилучшего равномерного приближения функций f(x) и ξ(х) лишь не намного отличается от минимально возможной. Обратное утверждение обычно ошибочно, т. е. при квадратической аппроксимации в некоторых участках интервала аппроксимации возможны существенные превышения погрешности аппроксимации (выбросы) по сравнению с теми, которые соответствуют критерию (12).

Вернемся к вольт-амперным характеристикам. Общий вид записи степенного полинома, аппроксимирующего ВАХ:

I = а₀ + а₁u+ а₂u₂ +... + а_nuⁿ

Иногда бывает удобно решать задачу аппроксимации заданной характеристики в окрестности рабочей точки U₀. Тогда используют степенной полином другого вида:

I = а₀ + а₁(u - U₀) + a₂(u - U₀)² +... + a_n(u - U₀)

Пример

Рис. 21. ВАХ нелинейного резистпвного элемента

Используя метод интерполяции, аппроксимировать ВАХ нелинейного резистивного элемента (рис. 21) степенным полиномом. Аппроксимированная ВАХ должна совпадать с заданной в выбранных точках U₀, U₁ и U₂.

Составим систему уравнений:

из которой найдём искомые коэффициенты

Пример

ВАХ нелинейного резистивного элемента i = F(u) задана таблицей:

u_к		0.1	0.2	0.3	0.4	0.5	0.6	0.7	0.8
i_к		0.06	0.23	0.5	0.85	1.18	1.65	2.3	2.9

Используя квадратический критерий, аппроксимировать характеристику выражением i= а₂u₂.

Сумма квадратов отклонений аппроксимирующей функции от заданной:

минимальна при значении коэффициента а₂, удовлетворяющего уравнению

откуда

Пример

На рис. 22 кружочками показаны полученные экспериментально пять точек характеристики i_Б = F(u_БЭ) транзистора КТ301. Осуществим степенную аппроксимацию этой характеристики в диапазоне u_БЭ от 0,4 до 0,9 В полиномом второй степени в окрестности рабочей точки U₀ = 0,7 В.

Коэффициенты а₀, a₁,...,a_n полинома i_Б = а₀ + a₁(u_БЭ - U₀)² найдем, используя метод интерполяции. Выберем в качестве узлов интерполяции точки, соответствующие напряжениям 0,5; 0,7 и 0,9 В и составим систему уравнений:

Рис. 22. Характеристики i_Б = F(u_БЭ) транзистора

Решение этой системы дает а₀ = 0,15 мА, a₁ = 1,125 мА/В, a₂ =3,125 мА/В. Кривая тока i_Б = 0,15 + 1,125(u_БЭ - 0,7) + 3,125(u_БЭ - 0,7)² проходит через три экспериментальные точки, соответствующие узлам интерполяции (см. рис. 22, кривая 1). Из рисунка видно, что некоторые экспериментальные точки (например, при U_БЭ = 0,4 В) плохо “ложатся” на эту кривую. Кроме того, появляется загиб в нижней части характеристики.

Лучшей аппроксимации можно добиться, если использовать полином четвертой степени п выбрать соответственно пять узлов интерполяции (0,4; 0,5; 0,7; 0,8; 0,9 В). В этом случае кривая тока i_Б пройдет через все пять экспериментальных точек.

Однако можно попытаться сохранить вторую степень полинома и улучшить аппроксимацию, воспользовавшись каким-либо другим методом для определения коэффициентов аs. Найдем эти коэффициенты, используя среднеквадратическое приближение тока по всем пяти экспериментальным значениям.

Составим уравнения: