Практический гармонический анализ

Применение рядов Фурье

Вычисление сумм числовых рядов.

В предыдущих параграфах было показано, как с помощью тригонометрических рядов можно вычислить суммы некоторых числовых рядов. Например,

. (8°)

. (9°)

Практический гармонический анализ.

На практике функция часто задаётся или в виде таблицы (когда функциональная зависимость получается в результате эксперимента), или в виде кривой, которая вычерчивается каким-либо прибором, например, осциллографом. В этих случаях можно получить аналитическое представление этой функции в виде тригонометрического ряда или в виде частичной суммы (отрезка) такого ряда. Коэффициенты Фурье вычисляются при помощи приближённых методов интегрирования, например, формулы прямоугольников.

Пусть значения функции, которая может быть периодической (с периодом 2 l), получены в виде графика (рис.3.10.1).

Рассмотрим на оси абсцисс промежуток длиной 2p. Ясно, что любой промежуток можно свести к такому с помощью сдвига начала координат и последующего «сжатия» промежутка с помощью замены . Тогда получим 2p-периодичную функцию , как в п.3.7 (рис.3.10.2).

Разделим промежуток на п равных частей точками (рис.3.10.3). Шаг деления будет равен . Рассмотрим один период некоторой 2p-периодичной функции , изображённой на рис.3.10.4. Каждый промежуток будет служить основанием одного из прямоугольников с высотами , равными значениям функции в точках деления , т.е. в правых концах частичных отрезков. Значения этих высот определим по таблице или графику данной функции. Затем воспользуемся формулой прямоугольников. Эта формула заменяет площадь подграфика, равную определённому интегралу, ступенчатой фигурой, складывающейся из площадей прямоугольников: (i =1, 2, …, п) (рис.3.10.4):

(при площадь ступенчатой фигуры стремится к значению определённого интеграла). Тогда коэффициенты Фурье можно приближённо определить следующим образом:

;

;

.

.

Значения соответствующих синусов и косинусов определяются по таблицам или с помощью вычислительной техники. Разработаны схемы, упрощающие вычисление коэффициентов Фурье (см., например, Смирнов В.И., «Курс высшей математики», т.2; Лопшиц А.М., «Шаблоны для гармонического анализа»). Существуют даже приборы, так называемые гармонические анализаторы, которые по графику функции позволяют вычислить приближенное значение коэффициентов Фурье.

По вычисленным коэффициентам Фурье составляется функция:

и берётся столько членов ряда, сколько требуется в данной задаче. Таким образом, функция, заданная таблично или графически, становится заданной аналитически, и её можно дифференцировать, интегрировать, подставлять в дифференциальное уравнение, и т.д.