Пример. Вынужденные колебания груза, подвешенного на пружине

Груз массой т, подвешенный к пружине, коэффициент жёсткости которой равен с, находится под действием возмущающей силы с периодом, равным 2 секундам (рис.3.10.5) Найти вынужденные колебания груза, если

. (3.10.2)

Силой трения о воздух пренебречь.

Решение. Найти вынужденные колебания означает найти закон изменения перемещения х от времени: .

Из формулы для возмущающей силы видно, что она в первую секунду растет линейно со временем, а вторую секунду остается постоянной. Затем все повторяется, т.к. сила по условию периодическая с периодом 2 секунды (рис.3.10.6). В конце двухсекундного периода сила падает до нуля, т.е. отпускает груз.

В теории колебаний, являющейся разделом теоретической механики, показано, что в отсутствие трения задача сводится к нахождению частного решения уравнения

, (3.10.3)

где две точки над перемещением х означают вторую производную по времени t, т.е. ускорения. Заметим, что если правая часть уравнения (3.10.3) равна нулю:

, (3.10.4)

то это соответствует свободным колебаниям груза под действием силы тяжести в отсутствие вынуждающей силы, тогда ищется общее решение однородного уравнения. Первое слагаемое последнего уравнения - это сила согласно второму закону Ньютона, второе слагаемое - упругая сила, пропорциональная перемещению х. Уравнение (3.10.4) можно записать в виде .

Разделим неоднородное уравнение (3.10.3) на т =3:

, (3.10.5)

где

(3.10.6)

(рис.3.10.7). Для данной задачи . Тогда уравнение (3.10.5) примет вид

. (3.10.7)

Для решения соответствующего однородного уравнения

применим метод Эйлера. Составим характеристическое уравнение

,

где – мнимая единица. Общее решение однородного уравнения (3.10.4) (свободные колебания груза) при заданных физических константах равно

,

где произвольные постоянные и определяются из начальных условий.

Найдём вынужденные колебания груза, т.е. частное решение неоднородного уравнения (3.10.7), где правая часть определяется формулой (3.10.6). Для этого разложим кусочно-заданную функцию в ряд Фурье на промежутке [0; 2) (полупериод l =1):

.

Воспользуемся формулами для случая несимметричного промежутка:

:

; .

Таким образом,

. (3.10.8)

Теперь разложим в ряд Фурье искомое перемещение по таким же аргументам синуса и косинуса:

, (3.10.9)

где - неопределённые коэффициенты. Это можно сформулировать по-другому: будем искать вынужденные колебания груза в виде тригонометрического ряда Фурье.

Найдём производные:

;

. (3.10.10)

Подставим разложения (3.10.8) – (3.10.10) в уравнение (3.10.7):

+ =

.

Приравняем коэффициенты при одинаковых функциях.

Свободные члены: ;

;

.

Неопределённые коэффициенты найдены. Подставив их в (3.10.9), получим вынужденные колебания груза:

. (3.10.11)

Исходя из требуемой точности, берётся нужное число членов полученного ряда. Для найденного перемещения можно построить график или составить таблицу. На рис.3.10.8 представлен график перемещения при 15 сохранённых членов ряда.

По формуле (3.10.11) можно также найти положение груза в любой момент времени.

Общее решение неоднородного уравнения (3.10.7) будет равно сумме и :

.

Произвольные постоянные и находятся из начальных условий, например, в начальный момент времени перемещение и скорость равны нулю:

.

В реальности в уравнение (3.10.3) должно входить слагаемое , представляющее силу трения. В этом случае решение будет другим, и собственные колебания будут быстро затухать со временем. В нашем, идеальном, случае, они будут присутствовать всегда и будут накладываться на вынужденные колебания.