Уравнения дисперсии

Сложная задача взаимодействия электромагнитного поля с веществом может решаться как методами классической, так и квантовой физики. Следует учитывать, что при использовании гармонического осциллятора в качестве модели излучающего атома результаты квантовой и классической теории дисперсии полностью совпадают. В последующем изложении, проводимом в приближении классической физики, фактически использована модель Томсона — атом как гармонический осциллятор с частотой собственных колебаний w₀. Идея расчета, впервые проведенного Лоренцем, предельно проста: для получения зависимости показателя преломления какого-либо вещества от частоты падающего на него света нужно найти вектор поляризации этого вещества Р, создаваемый полем световой волны Е. Затем вычисляют вектор электростатической индукции

(14.2)

и определяют диэлектрическую проницаемость вещества , Используя основное соотношение электромагнитной теории света зависимость показателя преломления от частоты падающего света получают зависимость . Таким образом, изменение n в зависимости от w обусловливается суперпозицией первичной световой волны и всех вызванных ею вторичных волн в исследуемом веществе, свойства которого должны существенно влиять на ход показателя преломления n (w). Важно понять, что в данном случае первичная волна не заменяется суммой вторичных волн (как это делается при истолковании явления дифракции) а взаимодействует с ними. Уточним постановку задачи: пусть в единице объема имеется N хаотически расположенных эквивалентных атомов исследуемого вещества. Будем считать, что в каждом атоме имеется один оптический электрон с зарядом q. Электрическое поле световой волны воздействует на такой электрон с силой qE (вынуждающая сила).

Не будем пока учитывать действия на данный электрон поля, создаваемого всеми другими электронами. Это пренебрежение справедливо при малой плотности изучаемого вещества. В дальнейшем будет показано, как видоизменяются формулы при учете взаимодействия электрических зарядов

Электрон удерживается в атоме квазиупругой силой fr, которая, как мы видим, пропорциональна смещению электрона г, возникающему под действием поля световой волны. Масса электрона m и коэффициент квазиупругой связи f определяют частоту собственных колебаний гармонического осциллятора w₀. Связь между ними записывается в виде /

Будем считать, что все гармонические осцилляторы идентичны, т е. имеют одну собственную частоту колебания w₀. Заметим, что исходные положения излагаемой теории пригодны не только для описания колебаний оптических электронов, но их можно использовать для учета вынужденных колебаний ионов с частотами В этом случае в кубе с ребром порядка длины световой волны даже при очень малой плотности вещества содержится громадное количество излучающих атомов, которые, как мы условились, не влияют друг на друга, и можно положить, что поляризация вещества в поле световой волны определяется соотношением Р = Nqr.

Таким образом, можно считать выясненным вопрос о необходимости введения в уравнение движения осциллирующего электрона вынуждающей и квазиупругой сил. Теперь уточним их знаки.

Квазиупругая сила всегда имеет знак обратный направлению смещения, т. е. равна –fr. Знак вынуждающей силы qЕ, так же как и поляризация среды, зависит от знака электрического заряда. Выше поляризация среды была определена выражением Р = Nqr. Поэтому введем в уравнение движения вынуждающую силу +qE что будет годиться для описания движения как положительного, так и отрицательного заряда.

Необходимо разобраться еще в одном вопросе: как учесть неизбежное затухание колебаний осциллятора? Физические причины, приводящие к затуханию излучения и связанному с ним уширению спектральной линии, будут подробно обсуждены ниже. Они сводятся к потере энергии вследствие излучения, к столкновениям, тушащим колебания осцилляторов, и к хаотическому тепловому движению атомов (эффект Доплера). При феноменологическом описании можно объединить все эти разнородные процессы, вводя убывающую во времени амплитуду затухающей волны. При составлении уравнения движения осциллирующего электрона для учета затухания нужно ввести какую-то тормозящую силу. Запишем ее в виде —gr, где g — некий коэффициент; частное от его деления на массу электрона обозначают g и называют коэффициентом затухания.

В теории колебаний доказывается, что тормозящая сила пропорциональна скорости движения в том случае, когда затухание относительно мало и в незначительной степени искажает собственные колебания системы. Простые оценки показывают, что в данной задаче такое приближение законно. Упоминавшиеся выше причины (столкновения, тепловое движение) могут в 10—100 раз уширить линию излучения, но и при этом в полной мере сохраняется основной результат — в течение одного периода атом теряет очень малую часть накопленной энергии, и, следовательно, введение такой тормозящей силы в уравнение движения остается вполне законным.

Итак, дифференциальное уравнение движения осциллирующего электрона имеет вид

(14.3)

Напомним, что g/m =g и .Перегруппировав члены , найдем

(14.4)

Будем исходить из того, что напряженность электрического поля изменяется по закону Е=Е_оcos(wt+j) и предполагая, что трение минимально, т.е. g=0, решение этого уравнения следует искать в виде

, где

Найдем значение вектора поляризации

и подставим в 14.2

(14.5)

сократив в уравнении (14.5) слева и справа и учтя, что , получаем

(14.6)

Уравнение (14.6) показывает, что дисперсия создается в результате колебаний электронов.

Проанализируем уравнение (14.6).

При частотах w, заметно отличающихся от собственной частоты колебаний электронов w₀ . Вблизи собственных частот функция 14.6 терпит разрыв: при стремлении w к w₀ c слева она обращается в +¥, при стремлении справа — в —¥ (см. пунктирные кривые на рис. 4.3). Такое поведение функции (14.6) обусловлено тем, что мы пренебрегли трением излучения (напомним, что при пренебрежении трением амплитуда вынужденных колебаний при резонансе обращается в бесконечность). Учет трения излучения приводит к зависимости n² от w, показанной на рис. 144.1 сплошной кривой.

Перейдя от к n и от w к l_о, получим кривую, изображенную на рис. 144.2 (дан лишь участок кривой в области одной из резонансных длин волн). Пунктирная кривая на этом рисунке изображает ход коэффициента поглощения света веществом. Участок 3—4 аналогичен кривой, приведенной на рис. 142.1. Участки 1—2 и 3—4 соответствуют нормальной дисперсии (dn/dl_о <.0). На участке 2—3 дисперсия аномальна (dn/dl_о >0).

В области 1—2 показатель преломления меньше единицы, следовательно, фазовая скорость волны превышает с. Это обстоятельство не противоречит теории относительности, основывающейся на утверждении, что скорость передачи сигнала не может превзойти с. В предыдущем параграфе мы выяснили, что передать сигнал с помощью идеально монохроматической волны невозможно. Передача же энергии (т. е. сигнала) с помощью не вполне монохроматической волны (группы волн) осуществляется со скоростью, равной групповой скорости. В области нормальной дисперсии du/dl>0 (dn и du имеют разные знаки, a dn/dl<0), так что, хотя u>c, групповая скорость оказывается меньше с.

В области аномальной дисперсии понятие групповой скорости теряет смысл (поглощение очень велико). Поэтому вычисленное по значение и не будет характеризовать скорости передачи энергии. Соответствующий расчет дает и в этой области для скорости передачи энергии значение, меньшее с.

Дисперсия возникает в результате интерференции первичной и вторичной волн. Поэтому передний фронт светового импульса распространяется в среде со скоростью света в вакууме, поскольку вторичные волны не могут его догнать. Эта часть.импульса' прибывает первой. Ее амплитуда мала. Затем прибывает вторая часть импульса, имеющая более значительную амплитуду и продолжительность. Затем прибывает основной сигнал. Ясно, что скорость сигнала не является точно определенным понятием, поскольку за сигнал можно было бы принять часть импульса, прибывающей в точку приема первой. Обычно, говоря о скорости сигнала, имеют в виду групповую скорость на частоте, соответствующей максимальной амплитуде в сигнале. Однако при достаточной чувствительности детектора за скорость сигнала можно было бы принять скорость предшественников основного сигнала. В этом случае скорость сигнала может быть сколь угодно близкой к скорости света в вакууме, хотя сигнал и распространяется в среде.