2015-07-03
418
Пусть дана дифференцируемая функция 
, для которой в некоторой точке 
выполнено неравенство
Тогда в некоторой окрестности точки 
уравнение
определяет, как мы знаем из теоремы о неявной функции, некоторую функцию 
, заданную вблизи точки 
в 
.
Пусть требуется найти её частные производные 
, 
. Это можно сделать, применив формулу производной сложной функции к функции
которая тождественно равна 0 в окрестности точки 
; следовательно, и все её частные производные в точке обращаются в 0. Итак, считая параметром, от которого зависят все аргументы функции 
, переменную 
, где 
, получаем по формуле 
:
(производные 
равны 0 при 
, 
), то есть
откуда
или
| (7.9) |
Эта важная формула позволяет вычислять производные неявно заданной функции 
, не имея задающего её явного выражения.
Пример Пусть функция 
задана неявно уравнением
в окрестности точки 
(проверьте, что координаты этой точки удовлетворяют уравнению). Найдём производные 
и 
. Поскольку для функции
частные производные равны
(и 
так что данное уравнение действительно определяет неявную функцию), то по формуле (7.9) получаем:
Подставляя координаты точки (1;2;1), находим:
