2015-07-03
246
Пусть 
-- непрерывная функция, монотонная на интервале 
. Тогда, как мы доказали в гл. 3, функция 
имеет обратную функцию 
, которая также является непрерывной и монотонной функцией на интервале 
, в который функция 
переводит интервал . Пусть 
-- фиксированная точка и 
-- точка, ей соответствующая. Тогда 
.
Теорема: Пусть функция имеет в точке 
производную 
. Тогда обратная функция 
имеет в соответствующей точке 
производную 
, которую можно отыскать по формуле
| (4.14) |
Доказательство. Дадим аргументу приращение 
, такое что 
, и рассмотрим соответствующее приращение 
, определяемое равенством 
. Тогда, очевидно, 
; при этом 
, а из монотонности функции следует, что 
. Поскольку как функция , так и функция 
непрерывны, то условия 
и 
эквивалентны. Составим теперь разностное отношение для функции и запишем для него очевидное равенство:
Теперь перейдём в этом равенстве к пределу при и учтём, что при этом 
тоже стремится к 0:
что мы и хотели доказать.
Заметим, что, очевидно, из формулы (4.14) следует, что
| (4.15) |
если -- функция, обратная к .
