Переходные процессы в цепях первого порядка

Пример 1. Заряд и разряд и конденсатора через резистор. Соединение резистора и конденсатора называют RC‑ цепочкой (рис. 20.1). Подключим ее к источнику, напряжение которого меняется скачком в момент t = 0 (рис. 20.2).

Рис. 20.1. RC -цепочка с источником напряже­ния.

Рис. 20.2. Зависимость напряжения источника от времени.

Запишем полную систему расчетных уравнений цепи рис. 20.1 в виде уравнения единственного контура цепи и уравнений элементов:

,

, .

Подставим выражение для тока из уравнения конденсатора в уравнение резистора, получим . Это выражение подставим в уравнение контура, получим дифференциальное уравнение для напряжения конденсатора:

Рассматривая это уравнение после коммутации (при t > 0), получим:

(20.1)

Чтобы решить это уравнение, к нему надо добавить начальное условие . Чтобы найти его, вначале рассчитаем напряжение на конденсаторе до коммутации . Так как мы предполагаем, что до коммутации (то есть, до момента t = 0) имел место установившийся режим при постоянных напряжениях, то тока в цепи не было, напряжение на резисторе было равно нулю, и потому напряжение на конденсаторе было равно напряжению источника: . Согласно 2-му закону коммутации, , поэтому искомое начальное условие .

Полное решение уравнения (20.1) найдем в виде

,

где - решение однородного уравнения

, (20.2)

соответствующего уравнению (20.1); - частное решение уравнения (20.1).

Так как правая часть уравнения (20.1) - константа, то ищем также в виде константы. Подстановка в (20.1) дает .

Общее решение однородного уравнения (20.2) имеет вид

, (20.3)

где А и α - константы. Подстановка (20.3) в (20.2) дает .

Число А получим из начального условия. С одной стороны,

.

С другой стороны, , откуда .

Окончательно получаем: .

Показатель экспоненты часто записывают в виде , где в данном случае τ = RC:

.

Графики напряжения на конденсаторе для случая R = 20 Ом, С = 100 мкФ представлены на рис. 20.3, 20.4.

Знаменатель в показателе экспоненты τ называется постоянной времени переходного процесса. Проводя касательные к графику экспоненты, на их пересечении с горизонтальной прямой, соответствующей установившемуся решению после коммутации, можно получить отметки, отсекающие отрезки длиной τ (рис. 20.3, 20.4). В нашем случае τ = RC = 20·100·10^-6 = 0,002 с.

За время 3–5 τ переходной процесс практически полностью заканчивается: ; . Время 3–5 τ приближенно считают длительностью переходного процесса.

Рис. 20.3. Заряд конденсатора через резистор. V 1 = 40 B, V 2 = 200 B.

Рис. 20.4. Разряд конденсатора через резистор. V 1 = 160 B, V 2 = 0 B.

Замечание 2. В электротехнике частное решение дифференциального уравнения часто называют принужденной составляющей переходного процесса, а решение соответствующего однородного уравнения - свободной составляющей переходного процесса.

Рис. 20.5. Схема цепи с катушкой.

Рис. 20.6. Эквивалентная схема цепи с катушкой.

Пример 2. Изменение тока в катушке индуктивности при переключениях в цепи с источником постоянного напряжения (рис. 20.5).

Заменим резисторы R ₁ и R ₂ с ключом SA ₁ одним резистором R (рис. 20.6), сопротивление которого скачком меняется в момент t = 0 в зависимости от состояния ключа: при замкнутом ключе, при разомкнутом ключе. Обозначим .

Вначале выведем уравнение для тока катушки и получим для него начальное условие в общем виде, затем отдельно рассмотрим случаи замыкания и размыкания ключа.

Запишем полную систему уравнений цепи:

уравнение единственного контура цепи: ,

уравнения элементов: , , .

Подставив уравнения элементов в уравнение контура и разделив это уравнение на R, получим уравнение переходного процесса (для напряжения источника сохраним обозначение u, чтобы не путать ЭДС с экспонентой):

, (20.4)

причем здесь имеется в виду значение R после коммутации (так как переходной процесс протекает после коммутации).

Перед коммутацией в цепи был установившийся режим постоянного тока. Поэтому напряжение на катушке было равно нулю, значит, . Заметим, что сюда нужно подставить значение R до коммутации (так как начальные условия определяются состоянием цепи до коммутации). Далее, по 1-му закону коммутации , поэтому .

Рассмотрим случай, когда в момент t = 0 ключ замыкается, то есть до коммутации и после коммутации. Уравнение (20.4) и начальное условие для тока катушки будут иметь вид:

Рис. 20.7. Нарастание тока в катушке при уменьшении сопротивления.

Рис. 20.8. Напряжение катушки при нарастании тока.

, .

Решением задачи будет функция , где - постоянная времени переходного процесса.

Графики тока и напряжения катушки для значений R ₁ = 10 Ом, R ₂ = 90 Ом (при этом R ₁₂ = 9 Ом), L = 0,02 Гн, е = 9 В показаны на рис. 20.7, 20.8. Здесь мы не будем подробно разбирать решение дифференциального уравнения, так как это уже сделано в предыдущем примере, и кроме того, это изучается в курсе математики.

Теперь рассмотрим случай, когда в момент t = 0 ключ размыкается, то есть до коммутации и после коммутации. Уравнение (20.4) и начальное условие для тока катушки примут вид:

, .

Рис. 20.9. Затухание тока катушки при увеличении сопротивления.

Рис. 20.10. Напряжение катушки при затухании тока.

Решением задачи будет функция , где - постоянная времени переходного процесса. Графики тока и напряжения катушки показаны на рис. 20.9, 20.10. Значения параметров те же, что и в случае замыкания ключа.

Обратите внимание на то, что масштаб времени на рис. 20.7, 20.8 и рис. 20.9, 20.10 отличается в 10 раз. Затухание тока при размыкании ключа в рассматриваемой цепи происходит в 10 раз быстрее, чем нарастание тока при замыкании ключа, так как постоянная времени при замыкании в 10 раз больше (потому что ).

Масштабы напряжения на рис. 20.8 и рис. 20.10 также отличаются в 10 раз. Особо нужно отметить, что при быстром уменьшении тока в катушке напряжение на ней по абсолютной величине во много раз больше напряжения источника, создавшего этот ток. Это свойство катушки часто используется для получения импульсов высокого напряжения. Например, на этом эффекте основана работа автомобильных систем зажигания.