Переходные процессы в цепях второго порядка

Рис. 20.11. Подключение после- довательного соединения R, L, C к источнику постоянного напряжения.

Пример 3. Подключение последовательного соединения резистора, катушки и конденсатора к источнику постоянного напряжения (рис. 20.11).

Запишем полную систему расчетных уравнений цепи:

уравнение контура ,

уравнения элементов , , , .

Подставляя выражение для тока из уравнения конденсатора в уравнения катушки и резистора, получим:

, .

Подставим выражения для напряжений элементов в уравнение контура, получим дифференциальное уравнение переходного процесса для напряжения конденсатора:

. (20.5)

Для уравнения второго порядка нужны два начальных условия: и . При разомкнутом ключе начальное напряжение на конденсаторе может быть любым. Положим . По 2-му закону коммутации , поэтому . До коммутации тока в цепи не было: . Так как единственная ветвь цепи содержит катушку, то по первому закону коммутации , значит, . Согласно уравнению конденсатора, , поэтому .

Решение представим в виде суммы: , где - частное решение уравнения (20.5). Это решение ищем в виде константы, что при подстановке в (20.5) дает .

Функция - это решение соответствующего однородного уравнения

.

Она имеет вид

при , (20.6)

при . (20.7)

где α₁ и α₂ - корни характеристического уравнения :

, , здесь , . (20.8)

Рассмотрим отдельно три случая:

1. - апериодический процесс. При этом , - действительные числа, . График напряжения для R = 20 Ом, L = 10 мГн, C = 200 мкФ, е = 200 В показан на рис. 20.12.

Рис. 20.12. Апериодический переходной процесс.

Рассчитаем значения коэффициентов α₁ и α₂ по формулам 20.8:

Гц, рад/с,

Гц, Гц.

Подставим полученные коэффициенты в формулу (20.6) и потребуем выполнения начальных условий, учитывая, что , , то есть, : , следовательно,

. (20.9)

, следовательно, дифференцируя выражение для и приравнивая производную к нулю в момент t = 0, получим:

.(20.10)

Решив совместно уравнения (20.9) и (20.20), получим: A ₁ = -241,6 В, А ₂ = 41,6 В.

Окончательно,

В.

2. - критический процесс, пограничный между апериодическим и колебательным. При этом , , процесс затухает за минимальное время. График напряжения для R = 20 Ом, L = 10 мГн, C = 100 мкФ, е = 200 В показан на рис. 20.13.

Рис. 20.13. Критический переходной процесс.

Найдем коэффициенты А ₁ и А ₂ в выражении для . В данном случае, с учетом формулы (20.7), . Как и в случае периодического режима, потребуем выполнения начальных условий:

, следовательно, , .

, следовательно, дифференцируя выражение для и приравнивая производную к нулю в момент t = 0, получим:

, .

Окончательно получим:

.

3. - колебательный режим. При этом , - пара сопряженных комплексных чисел. В этом случае решение однородного уравнения удобно представить в виде

, (20.11)

здесь - частота собственных колебаний (см. п. 15).

Тогда полное решение уравнения 20.5 будет выражаться формулой

. (20.12)

Рис. 20.14. Колебательный переходной процесс.

График этого напряжения для R = 20 Ом, L = 10 мГн, C = 2 мкФ, е = 200 В показан на рис. 20.14. Вычислим для этого набора исходных данных все коэффициенты в выражении (20.11). Как и в предыдущих случаях, Гц, В.

Далее, по формулам 20.8 и 20.11 получим:

рад/с, рад/с.

Рассчитаем коэффициенты А ₁ и А ₂, исходя из начальных условий.

, следовательно, , В.

, следовательно, дифференцируя выражение для и приравнивая производную к нулю в момент t = 0, получим: , то есть, , В.

Окончательно: В.

Замечание 3. Мы рассчитывали только одну величину для каждой задачи: напряжение конденсатора в 1 и 3 примерах и ток катушки во 2 примере. Все остальные напряжения и токи (например, напряжение катушки в примере 2) могут быть получены по результатам таких расчетов с помощью уравнений элементов и законов Кирхгофа.

Замечание 4. В настоящее время для расчета любых режимов электрических цепей обычно применяют численные алгоритмы, реализованные в виде различных компьютерных программ. Это очень удобно для практических расчетов, однако, инженеру нужно понимать теоретическую основу расчетов и знать особенности аналитических решений. Кроме того, надо иметь в виду, что компьютерные программы иногда выдают ошибочные решения, поэтому их нужно уметь каким-то способом контролировать.