2015-07-03
5163
 Рис. 20.11. Подключение после- довательного соединения R, L, C к источнику постоянного напряжения. |
Пример 3. Подключение последовательного соединения резистора, катушки и конденсатора к источнику постоянного напряжения (рис. 20.11).
Запишем полную систему расчетных уравнений цепи:
уравнение контура 
,
уравнения элементов 
, 
, 
, 
.
Подставляя выражение для тока из уравнения конденсатора в уравнения катушки и резистора, получим:
, 
.
Подставим выражения для напряжений элементов в уравнение контура, получим дифференциальное уравнение переходного процесса для напряжения конденсатора:
. (20.5)
Для уравнения второго порядка нужны два начальных условия: 
и 
. При разомкнутом ключе начальное напряжение на конденсаторе может быть любым. Положим 
. По 2-му закону коммутации 
, поэтому 
. До коммутации тока в цепи не было: 
. Так как единственная ветвь цепи содержит катушку, то по первому закону коммутации 
, значит, 
. Согласно уравнению конденсатора, 
, поэтому 
.
Решение 
представим в виде суммы: 
, где 
- частное решение уравнения (20.5). Это решение ищем в виде константы, что при подстановке в (20.5) дает 
.
Функция 
- это решение соответствующего однородного уравнения
.
Она имеет вид
при 
, (20.6)
при 
. (20.7)
где α1 и α2 - корни характеристического уравнения 
:
, 
, здесь 
, 
. (20.8)
Рассмотрим отдельно три случая:
1. 
- апериодический процесс. При этом 
, 
- действительные числа, 
. График напряжения 
для R = 20 Ом, L = 10 мГн, C = 200 мкФ, е = 200 В показан на рис. 20.12.
 Рис. 20.12. Апериодический переходной процесс. |
Рассчитаем значения коэффициентов α1 и α2 по формулам 20.8:
Гц, 
рад/с,
Гц, 
Гц.
Подставим полученные коэффициенты в формулу (20.6) и потребуем выполнения начальных условий, учитывая, что , 
, 
то есть, 
: 
, следовательно,
. (20.9)
, следовательно, дифференцируя выражение для и приравнивая производную к нулю в момент t = 0, получим:
.(20.10)
Решив совместно уравнения (20.9) и (20.20), получим: A 1 = -241,6 В, А 2 = 41,6 В.
Окончательно,
В.
2. 
- критический процесс, пограничный между апериодическим и колебательным. При этом 
, 
, процесс затухает за минимальное время. График напряжения для R = 20 Ом, L = 10 мГн, C = 100 мкФ, е = 200 В показан на рис. 20.13.
 Рис. 20.13. Критический переходной процесс. |
Найдем коэффициенты А 1 и А 2 в выражении для . В данном случае, с учетом формулы (20.7), 
. Как и в случае периодического режима, потребуем выполнения начальных условий:
, следовательно, 
, 
.
, следовательно, дифференцируя выражение для и приравнивая производную к нулю в момент t = 0, получим:
, 
.
Окончательно получим:
.
3. 
- колебательный режим. При этом 
, - пара сопряженных комплексных чисел. В этом случае решение однородного уравнения удобно представить в виде
, (20.11)
здесь 
- частота собственных колебаний (см. п. 15).
Тогда полное решение уравнения 20.5 будет выражаться формулой
. (20.12)
 Рис. 20.14. Колебательный переходной процесс. |
График этого напряжения для R = 20 Ом, L = 10 мГн, C = 2 мкФ, е = 200 В показан на рис. 20.14. Вычислим для этого набора исходных данных все коэффициенты в выражении (20.11). Как и в предыдущих случаях, 
Гц, 
В.
Далее, по формулам 20.8 и 20.11 получим:
рад/с, 
рад/с.
Рассчитаем коэффициенты А 1 и А 2, исходя из начальных условий.
, следовательно, 
, 
В.
, следовательно, дифференцируя выражение для и приравнивая производную к нулю в момент t = 0, получим: 
, то есть, 
, 
В.
Окончательно: 
В.
Замечание 3. Мы рассчитывали только одну величину для каждой задачи: напряжение конденсатора в 1 и 3 примерах и ток катушки во 2 примере. Все остальные напряжения и токи (например, напряжение катушки в примере 2) могут быть получены по результатам таких расчетов с помощью уравнений элементов и законов Кирхгофа.
Замечание 4. В настоящее время для расчета любых режимов электрических цепей обычно применяют численные алгоритмы, реализованные в виде различных компьютерных программ. Это очень удобно для практических расчетов, однако, инженеру нужно понимать теоретическую основу расчетов и знать особенности аналитических решений. Кроме того, надо иметь в виду, что компьютерные программы иногда выдают ошибочные решения, поэтому их нужно уметь каким-то способом контролировать.
