Теперь предположим, что потребитель не стремится приобрести набор товаров, обеспечивающий ему максимальную полезность. Теперь потребитель выбрал уровень полезности u* который должен обеспечить ему приобретаемый набор товаров и среди одинаково полезных наборов он стремится приобрести как можно более дешевый.
В данной ситуации мы говорим о задаче потребительского выбора в двойственной постановке (двойственной задаче потребительского выбора). Графически эту задачу можно проиллюстрировать следующим образом:
На кривой безразличия, соответствующей выбранному потребителем уровню полезности u* отыскивается набор товаров с минимальной стоимостью.
Математическая формулировка двойственной задачи потребительского выбора имеет следующий вид:
Данная задача является задачей нелинейного программирования. Функция Лагранжа имеет вид:
дописать Лямбда
Запишем условия первого порядка:
Отсюда мы получаем условия первого порядка для решения двойственной задачи потребительского выбора.
|
|
т.к. лямбда это постоянное число
Из свойств функции полезности следует, что условия первого порядка определяют точку максимума функции Лагранжа и, следовательно, решение задачи потребителя в двойственной постановке.
Решение двойственной задачи потребительского выбора записывается в виде функций спроса Хикса:
Эти функции позволяют определить количество единиц каждого вида товара, приобретаемого потребителем в зависимости от цен товаров и выбранного потребителем уровня полезности.
Пример
Пусть функция полезности потребителя имеет следующий вид: u(x1,x2)= x1x2
Сформулируем и решим двойственную задачу потребительского выбора. Пусть u* - выбранный потребителем уровень полезности, тогда двойственная задача будет иметь следующий вид:
В этом случае, предельные полезности товаров MU1 = х2, MU2 = х1
Условия первого порядка приобретают следующий вид:
=>
и, следовательно, функции спроса Хикса: