Эластичность функции

В ходе анализа различных экономических процессов очень часто используется понятие эластичности функции, которое тесно связано с понятием производная функции.

Производная функции f(x) по аргументу x называют предел отношения приращения функции к приращению аргумента, в случае, когда приращение аргумента стремится к нулю:

Точно также как и производная функции, эластичность функции позволяет определить скорость роста функции в данной точке, но при этом значение эластичности не зависит от выбора единиц измерения как функции, так и ее аргументов (что важно для решения экономических задач)

Эластичность функции f(x) по аргументу х (обозначается ) называют придел отношения относительного приращения функции в данной точке к относительному приращению аргумента в том случае когда относительное приращение аргумента стремится к нулю.

где Mf = f’(x) - предельное значение функции в данной точке, Af = f(x)/x - среднее значение функции в данной точке.

Эластичность позволяет нам оценить на сколько процентов изменит свое значение функция при изменении значения аргумента на один процент.

Рассмотрим основные свойства эластичности функции:

1. Эластичность функции представляет собой безразмерную величину (это непосредственно следует из определения).

2. Эластичности двух взаимно обратных функций представляют собой обратные величины.

f(x), обратные, если f()=x.

Доказательство:

3. Эластичность произведения двух функций равна сумме эластичностей этих функций. Доказательство: пусть имеются две функции f(x) и g(x). Тогда:

4. Эластичность частного двух функций равна эластичности числителя минус эластичность знаменателя. Доказательство: пусть имеются две функции f(x) и g(x). Тогда:

5. Эластичность суммы двух функций вычисляется по формуле:

Пример

Определим эластичность функции Из свойства 4 следует что эластичность нашей функции будет равна разности эластичностей числителя и знаменателя. Обозначим f(x)=xⁿ и g(x) = e^x. Имеем:

, .

В итоге, получаем: