Пример модификации фильтра МНК 2-го порядка

Передаточная функция: выражение (3.2.4). Частотная характеристика (нормировку можно снять):

H(w) = -3exp(2jw)+12exp(jw)+17+12exp(-jw)-3exp(-2jw).

Замена концевых коэффициентов {значение 3} на параметр b и упрощение:

H(w) = 17+24 cos(w)+2b cos(2w).

При w = p: H(p) = 17-24+2b = 0. Отсюда: b = 3.5

Новая частотная характеристика (с приведением коэффициентов к целым числам):

H(w) = 68+96 cos(w)+14 cos(2w). Сумма коэффициентов при w = 0: H(0) = 68+96+14 = 178.

Нормированная частотная характеристика: H(w) = (68+96 cos(w)+14 cos(2w))/178.

Коэффициенты фильтра: h_n = {(7,48,68,48,7)/178}.

Пример- задание: Модифицировать 7, 9 и 11-ти точечные сглаживающие фильтры МНК 2-го порядка.

Контроль: ⁷h_n = {(1,6,12,14,12,6,1)/52}. ⁹h_n = {(-1,28,78,108,118,108,78,28,-1)/548}.

¹¹h _n = {(-11,18,88,138,168,178,168,138,88,18,-11)/980}.

Сравнительные графики частотных характеристик модифицированных фильтров МНК второго порядка приведены на рисунке 3.2.1.

Фильтры МНК третьего порядка по своим частотным характеристикам эквивалентны фильтрам второго порядка.

Фильтры МНК 4-го порядка. Расчет по аналогичной методике сглаживающих фильтров МНК 4-ой степени дает следующие результаты:

h_0-3 = (131,75,-30,5)/231,

h_0-4 = (179,135,30,-55,15)/429,

h_0-5 = (143,120,60,-10,-45,18)/429.

Рис. 3.3.1. Сглаживающие фильтры МНК.

На рис. 3.3.1 приведено сопоставление частотных характеристик одноразмерных фильтров МНК 1-го, 2-го и 4-го порядка.

В целом, по сглаживающим фильтрам МНК можно сделать следующие выводы:

1. Повышение порядка фильтра увеличивает степень касания частотной характеристикой уровня коэффициента передачи Н=1 на частоте w = 0 и расширяет полосу пропускания фильтра.

2. Увеличение количества членов фильтра приводит к сужению полосы пропускания и увеличивает крутизну ее среза.

3. Модификация фильтров уменьшает осцилляции передаточной функции в полосе подавления сигналов.

Совместное изменение этих параметров позволяет подбирать для сглаживания данных такой фильтр МНК, частотная характеристика которого наилучшим образом удовлетворяет частотному спектру сигналов при минимальном количестве коэффициентов фильтра.