Содержание программы

Тема 1. Введение. Математические методы и модели в принятии решений.

Процесс принятия решений, его участники и этапы. Лицо, Принимающее Решение (ЛПР), его информированность. Математические методы и принятие рациональных управленческих решений. Оптимизация как способ описания рационального поведения.

Взаимосвязь математической теории принятия решений, исследования операций и системного анализа. Необходимость разработки и использования моделей. Моделирование, его виды и этапы. Преимущества математического моделирования по сравнению с натурными экспериментами. Основные этапы моделирования.

Классификация моделей по объекту исследования, уровню агрегирования, применяемому математическому аппарату. Система экономико-математических моделей.

Вопросы применения средств вычислительной техники.

Литература.

Базовый учебник: [1],[3].

Дополнительная литература: [5], [7], [10], [13], [14], [18].

Тема 2. Линейные оптимизационные модели и линейное программирование.

Задачи линейного программирования (ЛП), их особенности, место и роль в системе оптимизационных математических моделей. Графический метод решения задачи ЛП.

Общая постановка и различные формы задачи ЛП. Примеры типичных постановок задач ЛП: линейная модель производства, транспортная задача, задача о смесях. Переход от описания проблемной ситуации к построению задач ЛП.

Геометрия задач ЛП. Выпуклые множества. Выпуклые оболочки. Вершины многогранного множества. Экстремумы линейной функции на многограннике и многогранном множестве. Алгебра задач ЛП. Базисные и допустимые базисные решения. Связь вершин многогранника допустимых решений и базисных решений. Понятие о симплекс-методе решения задач ЛП.

Теория двойственности в ЛП. Взаимно двойственные задачи. Функция Лагранжа. Содержательная интерпретация двойственных переменных. Анализ чувствительности оптимального решения к изменениям параметров задачи.

Компьютерные системы линейного программирования.

Литература.

Базовый учебник: [1].

Дополнительная литература: [4], [5], [9], [14].

Тема 3. Нелинейные оптимизационные модели, нелинейное программирование.

Принятие решений в условиях определенности; детерминированная статическая задача оптимизации. Понятие нелинейного программирования. Метод множителей Лагранжа. Теория Куна-Такера. Содержательные примеры.

Прямые методы решения нелинейных оптимизационных задач. Градиентный метод.

Компьютерные системы для решения задач нелинейного программирования.

Литература.

Базовый учебник: [1].

Дополнительная литература: [6], [8].

Тема 4. Целочисленная оптимизация. Оптимизация на графах.

Целочисленное программирование. Методы решения задач целочисленного программирования.

Транспортные задачи линейного программирования. Задача о назначении. Задача о выборе кратчайшего пути. Метод потенциалов. Теорема о целочисленности решения.

Понятие о графе. Ориентированный граф. Граф транспортной сети. Задача о максимальном потоке в сети. Сведение к задаче линейного программирования. Связь с транспортной задачей в матричной постановке. Алгоритм Форда-Фалкерсона для отыскания максимального потока.

Понятие о сетевом графе. Задача о критическом пути в сетевом графике. Применение сетевых графов в современном управлении проектами.

Литература.

Базовый учебник: [1].

Дополнительная литература: [5], [10], [11], [12], [13], [21].

Тема 5. Модели оценки эффективности организационных единиц.

Задача оценки эффективности однотипных самостоятельных организационных (управленческих) единиц (ОЕ). Примеры из экономики и менеджмента. Анализ оболочек данных. Составные ОЕ. Множество производственных возможностей и его эффективная граница. Эффективность ОЕ по входам и выходам. Эффективные и неэффективные ОЕ. Оценка эффективности ОЕ при постоянной отдаче от масштаба производства. Обобщение удельных критериев эффективности на многомерный случай. Мультипликативная модель оценки эффективности ОЕ: дробно-линейная задача и связанная с ней пара двойственных задач линейного программирования. Использование результатов анализа оболочек данных для выработки рекомендаций по улучшению работы неэффективных ОЕ.

Литература.

Дополнительная литература: [19],[20].

Тема 6. Многокритериальное принятие решений.

Понятие о многокритериальной оптимизации. Причины многокритериальности, примеры многокритериальных задач. Пространство решений и пространство оценок. Доминирование и оптимальность по Парето и Слейтеру. Роль понятия Парето-оптимальности в принятии решений.

Достаточные условия оптимальности по Парето и Слейтеру в форме свертки критериев в один обобщенный критерий. Коэффициенты важности в линейных свертках.

Необходимые условия оптимальности в выпуклом случае. Многокритериальные задачи линейного программирования, необходимые и достаточные условия оптимальности для них. Построение оптимальных по Парето решений в задаче ЛП с использованием линейных сверток критериев.

Методы выбора единственного решения из множества Парето-оптимальных решений. Использование линейных и нелинейных функций свертки, ограниченность такого подхода, в частности, применения весовых коэффициентов. Метод уступок. Целевое программирование.

Литература.

Базовый учебник: [2].

Дополнительная литература: [15], [16], [17].

Тема 7. Паросочетания и обобщенные паросочетания.

Понятие о двудольном графе. Задача о распределении работ. Задача о свадьбах. Паросочетания. Совершенные и максимальные паросочетания. Условие Холла. Чередующиеся цепи. Трансверсали семейства множеств.

Предпочтения. Условия классической рациональности предпочтений. Обобщенные паросочетания. Устойчивость паросочетаний. Теорема о существовании устойчивого паросочетания при любых предпочтениях участников (теорема Гейла – Шепли). Манипулирование предпочтениями. Примеры обобщенных паросочетаний.

Литература.

Базовый учебник: [3].

Дополнительная литература: [21].

Тема 8. Коллективное принятие решений, задача голосования.

Процедуры выработки коллективных решений. Правило простого большинства. Парадокс Кондорсе. Правило Борда. Внутренняя и внешняя устойчивость. Ядро. Некоторые нелокальные правила принятия решений.

Парадокс Эрроу. Манипулирование и стратегическое поведение участников при голосовании.

Литература.

Базовый учебник: [3].

Дополнительная литература: [22], [23].

Тема 9. Коалиции и влияние групп в парламенте.

Голосование с квотой. Индексы влияния. Индекс влияния Банцафа. Влияние стран в Совете Безопасности ООН. Институциональный баланс власти в Совете министров расширенного Евросоюза. Примеры других индексов влияния.

Литература.

Базовый учебник: [3].

Дополнительная литература: [24].

Тема 10. Задача дележа.

Историческая постановка задачи. Процедура «дели и выбирай». Манипулирование при дележе. Критерии справедливости дележа. Процедура «подстраивающийся победитель» и ее свойства. Разрешение трудовых споров. Слияние фирм. Раздел имущества. Дележ при числе участников больше двух.

Литература.

Базовый учебник: [3].

Дополнительная литература: [25].

Литература

Базовые учебники

1. А.В. Соколов, В.В. Токарев. Методы оптимальных решений. Т.1. Общие положения. Математическое программирование. Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2010.
2. А.В. Соколов, В.В. Токарев. Методы оптимальных решений. Т.2. Многокритериальность. Динамика. Неопределенность. Москва: ФИЗМАТЛИТ, 2010.
3. Ф.Т. Алескеров, Э.Л. Хабина, Д.А. Шварц. Бинарные отношения, графы и коллективные решения. М: Издательский дом ГУ-ВШЭ, 2006

Дополнительная литература

4. Ф.П. Васильев, А.Ю. Иваницкий. Линейное программирование. М. Факториал Пресс, 2008.

5. Дж. Данциг. Линейное программирование, его обобщения и применение. М.: Прогресс, 1966.

1. М. Интрилигатор. Математические методы оптимизации и экономическая теория. М.: Изд. Айрис-Пресс, 2002.
2. Х. А. Таха. Введение в исследование операций. М.: Издательский дом «Вильямс», 2005.

8. Ф.П. Васильев. Методы оптимизации. М. Факториал Пресс, 2005.

9. Л.В. Канторович, А.Б. Горстко. Математическое оптимальное программирование в экономике. М.: Знание, 1968.

10. Г. Вагнер. Основы исследования операций. М.:Мир, 1972 Т.1

11. Г. Вагнер. Основы исследования операций. М.:Мир, 1973 Т.2

12. Л. Р. Форд, Д. Р. Фалкерсон. Потоки в сетях. М.: Мир, 1966.

13. Исследование операций в экономике. Под ред. Кремера Н.Ш. М.: ЮНИТИ, 2005.

14. Е.С. Вентцель. Исследование операций. Задачи, принципы, методология. М.: ВШ, 2001.

15. В.В. Подиновский Введение в теорию важности критериев в многокритериальных задачах принятия решений. М.: Физматлит, 2007.

16. В.Д. Ногин. Методы оптимальных решений. СПб.: СПб филиал ГУ – ВШЭ. 2006.

17. В.В. Подиновский, В.Д. Ногин. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. М.: Физматлит. 2007.

18. А.А. Петров, И. Г. Поспелов, А.А. Шананин. Опыт математического моделирования экономики. М.: Энергоатомиздат. 1996.

1. В.Е. Кривоножко и др. Анализ эффективности функционирования сложных систем. // Автоматизация проектирования. 1999. № 1. С. 2 – 7.
2. R. Banker, A. Charnes, W.W. Cooper, J. Swaris, D.A. Thomas. An introduction to data envelopment analysis with some of its models and there uses. // Research in governmental and nonprofit accounting, 1989 / V. 5. P. 125 – 163.
3. О. Оре. Теория графов. М.: Наука. 1968.
4. К. Берж. Теория графов и ее приложения. М.: ИЛ.1962.
5. Б.Г. Миркин. Проблема группового выбора. М.: Наука. 1974.
6. Ф.Т. Алескеров, П. Ортешук. Выборы. Голосование. Партии. М.: Академия, 1995.
7. С. Брамс, А. Тейлор. Делим по справедливости. М.: СИНТЕГ. 2003.