Примеры контрольных работ

Контрольная работа 1. (Темы 1 и 2.)

1. На производство поступила достаточно большая партия стержней длиной 250 и 190 см. Нужно получить 470 заготовок длиной 120 см. и 450 заготовок длиной 80. Отходы должны быть минимизированы. Построить математическую модель данной задачи.

2. Найти максимум функции F = x₁+x₂ при условиях: 2x₁+4x₂ ≤ 16, -4x₁+2x₂ ≤ 8, x₁+3x₂ ≥ 9, x₁,x₂ ≥0. Обосновать.

3. Найти максимум функции F = 2x₁+x₂-x₃+x₄ -x₅ при условиях x₁+x₂+x₅=5, 2x₁+x₂+x₄= 9, x₁+2x₂+x₅=7, x₁,x₂,x₃,x₄ ,x₅≥0. Указание: использовать симплекс метод.

4.Для производства продукции трёх видов A, B, C используются три различных вида сырья. Каждый из видов сырья может быть использован в объёме не большем, чем 180, 210 и 236 кг. соответственно. Нормы затрат каждого из видов сырья на 1 кг. продукции данного вида и цена единицы продукции каждого вида приведены в таблице:

Вид сырья	Нормы затрат сырья на единицу продукции
Изделие A	Изделие B	Изделие C
I
II
III
Цена 1 кг. продукции (т.р.)

Потратив 50 т.р. фирма может открыть производство 4-го вида продукции, нормы затрат сырья на единицу которого составляют 2, 4 и 3 кг. соответственно, а цена 1 кг. равна 18 т.р. При этом функциональность старых линий производства не нарушается. Определить, окупится ли открытие новой линии производства при таких предположениях.

5. Дана задача линейного программирования f(x) = ‹c,x› →max, c = (c₁,...,c_n), Ax=b, b=(b₁,...,b_m). Доказать, что если эта задача имеет решение (f* < +∞), то f(x)=const для любых допустимых x.

Контрольная работа 2. (Темы 3,4,5,6)

1. Характеристики ОЕ с одним входом и одним выходом заданы таблицей:

ОЕ
x
y

· представить МПВ графически;

· выделить эффективные и неэффективные ОЕ;

· рассчитать графическим методом эффективность по входу и выходу для одной неэффективной ОЕ

2. Найти максимум функции f(x,y)=xy при ограничениях (x-2)²+(y-3)²≤ 1.

3. Дана функция f(x,y) = x²-xy+y²+x-y и начальная точка x₀=0, y₀ = 0. Сделать два шага по методу градиентного спуска при том, что α₀=½.

4. Свести задачу о сетевом планировании (в которой требуется найти минимальное время, за которое может быть реализован проект), заданную в виде графа работ, к общему виду транспортной задачи (транспортная сеть с промежуточными пунктами).

5. Пусть X – некоторое выпуклое множество в конечномерном пространстве Rⁿ, а f(x) – выпуклая непрерывно-дифференцируемая функция, определённая на всём Rⁿ. Доказать, что выполнение для некоторого x₀ из X и любых x из X неравенства ‹f'(x₀), x-x₀›≥0 является необходимым и достаточным условием того, что в x₀ достигается глобальный минимум функции f(x) на множестве X.

Экзаменационная работа (Темы 7, 8, 9, 10).

1. Рассмотрим ситуацию, возникающую при слиянии двух фирм А и В. Их оценки относительно обсуждающихся в ходе переговоров вопросов показаны в таблице.

Пункты переговоров	Фирма
А	В
Название фирмы
Местонахождение штаб-квартиры
Назначение президента
Назначение исполнительного директора
Увольнение персонала

Постройте справедливое решение, используя процедуру «подстраивающийся победитель».

2. Постройте мажоритарный граф при следующих предпочтениях участников на множестве относительно кандидатов из множества :

;

;

;

.

Есть ли здесь победитель Кондорсе? Проанализируйте полученный результат.

3. Пусть , где , и . Найдите максимальное паросочетание в G, пользуясь алгоритмом его построения.

4. Совет директоров банка состоит из пяти человек P, A, B, C, D. Президент банка Р имеет три голоса, остальные члены совета директоров – по одному. Правило принятия решения – минимум пять голосов «за». Известно, что Р и вице-президенты А и В в силу определенных причин никогда не голосуют все вместе за одно решение. Найдите индексы влияния Банцафа для каждого члена совета директоров.

5. Доказать, что стабильное паросочетание, получаемое в задаче о марьяжах (с линейными предпочтениями) результате алгоритма отложенного принятия с предлагающими мужчинами для каждого из мужчин не хуже чем любое другое стабильное паросочетание.