Округленное время жизни

В связи с тем, что обычно страховые компании заключают договора страхования жизни на целое число лет, естественно возникает необходимость наряду с остаточным временем жизни T (x) рассмотреть и её целую часть – округленную остаточную продолжительность жизни.

Округленная остаточная продолжительность жизни является дискретной случайной величиной, принимающей возможные значения , с соответствующими вероятностями .

Согласно определению имеем

,

а последняя вероятность может быть вычислена как:

- (10)

это и есть закон распределения вероятностей дискретной случайной величины .

Рассмотрим теперь задачу определения закона распределения для дробных возрастов , которая решается с помощью интерполяции. Для этого рассмотрим несколько интерполяционных методов определения функции выживания , с помощью которой и определяется закон распределения .

Если справедливо предположение о равномерном распределении смертей внутри года, то апроксимируется линейной функцией вида:

.

Тогда, линейное приближение примет вид

, .

Если представить х в виде , , то можно записать

. (11)

№ 2. Вычислить вероятность того, что человек, доживший до 30 лет, умрет в возрасте от 31,5 до 32,5 лет, в предположении, что для дробных возрастов справедливо предположение о равномерном распределении смертей.

Решение. Воспользуемся формулой вида:

.

Вычислим и по формуле (11):

.

.

Следовательно:

.

Ответ: 0,002118.

Если на отрезке функция выживания аппроксимируется экспоненциальным выражением (предположение о постоянной интенсивности смертности):

,

то получаем

, .

Если представить х в виде , , то:

. (12)

№ 3. Решить № 2 при условии, что справедливо предположение о постоянной интенсивности смерти.

Решение. Вычислим и по формуле (12):

,

.

Следовательно:

.

Ответ: 0,002119.

Если функция апроксимируется в виде обратной пропорциональной зависимости (предположение Балдуччи):

.

то можно получить:

,

или

(13)

где - вероятность того, что человек в возрасте n лет умрет в течение ближайшего года.

№ 4. Решить № 2 в предположении, что для дробных возрастов справедливо предположение Балдуччи.

Решение. Вычислим и по формуле (13`:

,

.

Следовательно:

.

Ответ: 0,002118.

В заключении отметим, что общая таблица продолжительности жизни, рассмотренная в первом параграфе, носит часто иллюстративный характер. Дело в том, что такие статистические данные сильно отличаются друг от друга, по меньшей мере, в двух случаях:

а) когда речь идет о разных странах с различным социально- экономическим развитием;

б) даже когда речь идет о конкретной стране, следует иметь в виду, что существуют различные группы людей с разными характеристиками продолжительности жизни (шахтеры и домохозяйки, и т.д.).

Поэтому страховые компании должны иметь целый спектр таблиц продолжительности жизни для различных групп населения. Такие таблицы называются таблицами с отбором или таблицами отбора риска (select tables). В них, помимо возраста, учитываются и другие факторы, влияющие на смертность. В качестве такого фактора отбора может рассматриваться, например, факт прохождения медицинского осмотра. Термин «отбор» и означает, что люди попадают в соответствующую таблицу после некоторого отбора.

Смертность среди людей, включенных в такие таблицы, зависит не только от возраста, но и от момента проведения отбора. Ясно, что смертность тех, кто успешно прошел, например, медицинское обслуживание, ниже, чем среди остальных людей. Однако эта зависимость с течением времени практически исчезает. Так, если в возрасте 30-ти лет человек прошел успешный отбор, то это оказывает существенное влияние на вероятность смерти в течение нескольких ближайших лет, но к годам 50-ти вероятность его смерти фактически зависит только от образа жизни индивида в течение последних 10-15 лет.

В связи с этим величины, включаемые в таблицы отбора риска, имеют два аргумента: х - момент отбора и - время, прошедшее с момента отбора.

Теоретически влияние отбора продолжается неограниченно долго. Однако с течением времени это влияние уменьшается и существует некоторый конечный период времени, начиная с которого можно пренебречь влиянием отбора. Этот период называется периодом действия отбора или сроком селекции и таблица, используемая после истечения срока селекции, называется окончательной таблицей продолжительности жизни, и все характеристики жизни будут рассматриваться уже как функции только от достигнутого возраста. Такие таблицы называются таблицами с отбором ограниченного действия.

Г Л А В А II