В химической промышленности часто приходится решать задачи управления с последовательным соединением аппаратов (колонны ректификации, реакторы, экстракторы и т.д.). Последовательное соединение применяется в непрерывных производствах, т.к. оно позволяет заменить распределенность процессов во времени на распределенность процессов в пространстве.
Структурная схема процесса может быть представлена в виде:
X0 X1 X2 X3 Хn-2 Xn-1 Xn
U1 U2 U3 U n-1 Un
При решении задач оптимального управления в системе последовательно соединенных агрегатов эффективным является метод динамического программирования. Последовательность решения задачи будет зависеть от того, какая величина задана: вход системы Хo или ее выход Хn.
Если задан вход в систему X0* задача решается следующим образом:
n сначала рассматривается два первых технологических участка, функции цели которых φ1(X0, X1) φ2 (X1, X2)
n при их рассмотрении величину X1, т.е. выход с первого участка определяют таким образом, чтобы при заданных Хо и Х2, функция цели для первых двух участков была максимальной.
|
|
(1)
В выражении (1) Хо – действительная (заданная) величина
Х2 – свободная (переменная) величина, которая может принимать любые значения в области . Поскольку Х2 величина переменная, то одновременно решается задача определения зависимости выходной величины первого участка от выходной величины второго участка, т.е. отыскивается оптимизационная связь
Х1опт= Х1опт (Х0*, Х2), (2)
На следующем шаге оптимизации к первым двум участкам присоединяют третий и определяют Х2 т.о. чтобы функция цели для трех участков была максимальной. При этом первые два участка рассматривают как один, имеющий вход Х0 и выход Х 2
Выражение для оптимизационной функции записывается в виде:
(3)
Поскольку координата Х3 меняется в диапазоне , то для случайной целевой функции (3) также находят условное оптимальное управление (оптимизационная связь):
Х2опт= Х2опт (Х0*, Х3), (4)
И т.д., дойдя до последнего участка находят функцию цели всей последовательной системы зависящую от входа и выхода. Функция цели при этом имеет вид:
(5)
т.к. выход системы Хn свободен, как и ранее оптимизационное значение Хn-1 находят для всего диапазона изменения Хn, т.е. находят оптимизирующую связь:
Хn-1 опт = Хn-1 опт (Х0*, Хn), (6)
Затем следует последний шаг:
- Определение Хn обеспечивающего максимум функции цели всей системы
(7)
Хnопт= Хnопт (Х0*)= Хn* (8)
После нахождения оптимального значения выхода на втором этапе оптимизации находят действительные оптимальные связи между технологическими параметрами, подставляя последовательно, начиная с конца оптимального значения выхода в оптимизирующие связи. Имеем: (8). Подставляя (8) в (6) находим оптимальное значение выхода (n-1) звена
|
|
Х * n-1 = Х * n-1 (Х0*, Хn),
Х * n-2 = Х * n-2 (Х0*, Хn-1),
……………………….
Х * 2 = Х *2 (Х0*, Х*3),
Х * 1 = Х *1 (Х0*, Х*2).