Задача 2

В гравитационном поле g на тонких нитях длины L каждая, закрепленных в одной точке, висят два одинаковых по размеру шара радиуса R<<L и массы m и 2m. Легкий шар отклоняют до горизонтального положения нити и отпускают. Найти, на какие максимальные углы отклонятся шары после первого удара. До удара тяжелый шар покоится. Найти ускорения тел (модуль и направление) сразу же после отпускания легкого тела и сразу же после удара. Найти натяжения нитей в указанные моменты времени. Трения нет, удар абсолютно упругий.

Решение:

1) Пусть - скорость легкого шара до момента удара, - скорость легкого шара после удара, - скорость тяжелого шара после удара.

2) Потенциальная энергия легкого шара переходит в его кинетическую энергию перед столкновением. С учетом выбранной системы координат имеем: , откуда .

3) Кинетическая энергия легкого шара перед ударом переходит в кинетическую энергию легкого и тяжелого шара сразу после удара: или . Кроме этого, суммарный импульс шаров до взаимодействия равен суммарному импульсу после взаимодействия: или . Т.о. имеем систему:

Решая данную систему, получаем: (легкий шар отскакивает от тяжелого в обратную сторону).

4) После взаимодействия кинетическая энергия шаров переходит в потенциальную:

или с учетом и , получаем соотношения:

,

откуда , .

5) Сразу после отпускания легкого шара его скорость равна нулю, натяжение нити будет нулевым (см. рисунок до удара), поэтому ускорение будет равно ускорению свободного падения - .

6) Сразу после удара результирующие ускорения буду направлены к точке подвеса и равны: - для легкого шара, - для тяжелого шара. Поскольку длина нити много больше радиусов шаров, то можно считать, что все силы направлены вдоль оси . В этом случае, натяжения нитей сразу после удара можно найти из соотношения сил:

или

Ответ: , ; после отпускания легкого шара его ускорение равно ; после удара , , , .