Краткие теоретические сведения

Пусть требуется приближенно решить уравнение .

Эта задача может быть решена точно лишь для очень узкого класса функций. Уже для многочленов степени выше четырех не существует формул, выражающих их корни через коэффициенты с помощью радикалов. Для большинства же уравнений, встречающихся в различных приложениях математики и технических задачах, приближенные методы решения являются единственно возможными.

Приближенное решение уравнения распадается на несколько задач:

1) Локализация и отделение корня.

2) Вычисление корня уравнения с заданной точностью .

Локализация корней ¾ необходимо определить количество, характер и расположение корней на числовой прямой. Все следующие задачи решаются для каждого корня в отдельности. Отделение корня ¾ нужно указать отрезок , внутри которого лежит один и только один корень данного уравнения. Локализация и отделение корня обычно выполняется графически и опирается на теорему: Если непрерывная функция на концах отрезка принимает значения разных знаков ,а первая производная постоянна по знаку, то на этом отрезке существует ровно одна точка, в которой функция обращается в ноль.

Вычислить корень с заданной точностью значит подобрать такое число , для которого выполняется неравенство , то есть указать на числовой прямой точку, лежащую на расстоянии не большем, чем допустимая погрешность, от точного значения корня. Вычисление корня уравнения с заданной точностью может быть выполнено различными методами [2].

Метод половинного деления. Отрезок , содержащий корень уравнения, делим пополам точкой . Если , из двух получившихся отрезков и выбираем тот, который содержит корень уравнения. То есть тот отрезок на концах которого, функция принимает значения разных знаков. Этот новый отрезок делим пополам и т.д. Процесс деления продолжается до тех пор, пока длина отрезка не станем меньше , тогда в качестве можно взять любую точку отрезка (Почему?).

Метод касательных или метод Ньютона. Этот метод может быть использован только в том случае, если функция на отрезке не имеет точек перегиба, т.е. вторая производная постоянна по знаку. Тогда приближенное значение корня вычисляется по формуле , где выбирается из условия . Правило остановки вычислений для метода следующее: пусть , тогда, если при некотором n выполняется , можно положить с погрешностью, не превышающей . Заметим, что данный метод отличается быстрой сходимостью.

Метод итераций. Для применения этого метода уравнение необходимо записать в виде , причем ¾сжимающая функция (). Приведем теорему, на которой основан универсальный способ преобразования исходного уравнения: Пусть непрерывно дифференцируема на отрезке , причем , тогда для любого функция является сжимающей на отрезке , причем при коэффициент сжатия принимает минимально возможное значение .

Выбрав произвольную точку , последовательные приближения будем вычислять по формуле до тех пор, пока не будет выполнено условие . Тогда с погрешностью, не превосходящей .