Порядок выполнения работы

1. Для локализации и отделения корней построить график функции .. В результате для каждого корня должен быть получен отрезок , содержащий только один корень уравнения.

2. Вычислить корень, используя метод половинного деления. Результаты вычислений оформить в виде таблицы:

3. Вычислить корень методом Ньютона. Предварительно проверить выполнение условия применения, выбрать начальное приближение , найти значение . Результаты расчетов внести в таблицу

4. Вычислить корень методом итераций. Предварительно найти значения величин , записать уравнение в виде , выполнить расчеты. Для расчетов можно использовать систему MathCAD [6]. Результаты оформить в виде таблицы:

5. В полученных результатах сделать необходимые округления и записать в виде .

6. Сравнить методы приближенного решения уравнений.

Задание 1. Проанализировать решение кубического уравнения

Решим кубическое уравнение с абсолютной погрешностью .

Запишем функцию и ее производные:

, , .

Вычислим корни первой и второй производной. . .

Из графика функции (Приложение 2) видно, что корни уравнения принадлежат отрезкам соответственно.

Корень вычислим методом половинного деления. Вычисления оформим в виде таблицы (Таблица 1).

Таблица 1



	0.5	0.5
0.25	0.5	0.25
0.25	0.375	0.125
0.25	0.3125	0.0625
0.25	0.28125	0.03125
0.25	0.26563	0.01563
0.25	0.25781	0.00781
0.25	0.25391	0.00391
0.25196	0.25391	0.00195
0.25196	0.25293	0.00097

Вычисления можно прекратить, поскольку длина последнего отрезка не превосходит .

В качестве приближенного значения корня возьмем середину последнего отрезка .

Методом Ньютона будем вычислять . Отрезок не содержит точек перегиба, т. к. вторая производная на нем постоянна по знаку. В качестве начального приближения возьмем . Поскольку первая производная монотонна на данном отрезке (Почему?), ее минимум достигается на одном из концов отрезка. Поэтому возьмем .

Результаты расчетов по методу Ньютона (Приложение 3) представим в таблице (Таблица 2).

Таблица 2


-3	-9.7	1.5398
-2.5314	-1.8075	0.2869
-2.39452	-0.1341	0.0213
-2.38262	-9.74×10^-4	1.55×10^-4

Поскольку вычисления можно прекратить.

Последний корень вычислим методом итераций. Поскольку первая производная функции монотонна на отрезке (Почему?) максимум и минимум достигается ею на концах отрезка, поэтому имеем . Вычислим . Вычисления по методу итераций (Приложение 4) запишем в виде таблицы (Таблица 3).