Относительность длин

С точки зрения преобразований Галилея, переход из одной инерциальной системы отсчета в другую представляет собой плоскопараллельный перенос, в результате которого расстояние между двумя заданными точками не изменяется. Неизменность скорости света требует, чтобы длины при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую изменялись (см. рассмотрение взаимодействия электрона с проводом с током из занятия 1.5.1).

Рассмотрим создание эталона длины, полагая, что эталон измерения времени уже есть (световые часы, описанные в разделе 2.1). Выясним, как эталон длины, созданный в одной системе отсчета и ориентированный вдоль направления движения системы, выглядит в другой системе отсчета, относительно которой первая движется со скоростью v. Поскольку нам уже известно, как преобразуются промежутки времени при переходе из одной системы отсчета в другую, при создании эталона будем опираться на процедуру измерения времени.

Вернемся в ракету, на которой раньше были световые часы (раздел 2.1.2). Допустим, в ракете подобрали стержень, подходящий для использования в качестве эталона. Этому эталону надо приписать какую-то величину длины. Данную процедуру выполнили следующим образом. На одном конце укрепили импульсный источник света и приемник, на другом - зеркало. После запуска источника свет проходит расстояние до зеркала, возвращается обратно и принимается приемником. Регистрируется время tо между посылкой и приемом светового сигнала. И величину
(3)
можносчитать длиной эталона. Ясно, что в системе отсчета, связанной с ракетой, при любой ориентации стержня измерения будут давать одно и то же значение L0.

Рассмотрим теперь те же самые измерения с точки зрения земного наблюдателя. Ранее мы предположили, что в перпендикулярном направлении движению ракеты изменения длин не происходит. Пусть теперь стержень ориентирован параллельно направлению движения ракеты. Обозначим за L` длину стержня, фиксируемую наблюдателем с Земли. Скорость ракеты относительно Земли равна v. Наблюдатель, находящийся на Земле, увидит, что после вспышки зеркало будет удаляться от источника, и свету надо будет пройти расстояние большее, чем L`. Если промежуток времени между отправкой светового сигнала и отражением от зеркала равен t1, то справедливо уравнение

ct1=L`+ v t1. (4)

Откуда

(5)

Аналогично, для времени t2 - прохождения света от зеркала к приемнику - найдем

(6)

Таким образом, промежуток времени t` между отправлением и приемом светового сигнала, с точки зрения земного наблюдателя, равен

(7)

С другой стороны, нам уже известно, что время t` между событиями - отправление и прием светового сигнала - в системе отсчета, связанной с Землей выражается через собственное время ракеты t0 соотношением
(8)
После подстановки выражения (8) в уравнение (7) получим уравнение, связывающее длину стержня, измеренного в ракете, с длиной, измеренной земным наблюдателем:
(9)

Итак, с точки зрения земного наблюдателя, длина стержня в направлении движения сокращается в раз по сравнению с длиной в системе отсчета, связанной с ракетой.