2015-07-21
417
Вариант №3.
Задание 1. Найти неопределенный интеграл 
.
Задание 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями 
.
Задание 3. Вычислить несобственный интеграл 
или доказать его расходимость.
Задание 4. Найти направление, в котором функция 
возрастает в точке 
быстрее всего.
Задание 5. Найти экстремум функции 
при условии, что её аргументы удовлетворяют уравнению 
.
Задание 6. Вычислить 
, где область D ограничена линиями 
.
Задание 7. Вычислить 
, где область D ограничена поверхностями 
.
Задание 8. Вычислить криволинейный интеграл вдоль линии L от точки A до точки B:
, где 
.
Задание 9. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданному начальному условию:
.
Задание 10. Найти общее решение дифференциального уравнения 
.
Решение.
Задание 1. Найти неопределенный интеграл .
.
Задание 2. Найти площадь фигуры, ограниченной линиями .
Построим фигуру:
.
Задание 3. Вычислить несобственный интеграл или доказать его расходимость.
.
Таким образом, интеграл сходится и равен 
.
Задание 4. Найти направление, в котором функция возрастает в точке быстрее всего.
Направление наискорейшего возрастания функции – это направление вектора градиента, т.е. необходимо найти вектор градиент(grad u) в точке М.
В нашем случае:
,
;
,
;
,
.
Следовательно, 
.
Задание 5. Найти экстремум функции при условии, что её аргументы удовлетворяют уравнению .
Составляем вспомогательную функцию:
.
Найдем её частные производные и приравниваем их нулю:
, 
, 
Находим x, y, 
.
Получим две точки 
и 
для функции F.
Используя достаточные условия проверим где функция F достигает экстремума (если достигает).
Вычислим 
:
;
;
.
Таким образом, 
при 
, значит в точке 
функция имеет условный минимум;
при 
, значит в точке 
функция имеет условный максимум.
;
.
Задание 6. Вычислить , где область D ограничена линиями .
Построим область D:
.
Задание 7. Вычислить , где область D ограничена поверхностями .
Построим область D.
Первое уравнение задает параболоид, второе – круговой цилиндр.
| z | ||||||||||
| у | |||||||||||
| х | |||||||||||
.
Задание 8. Вычислить криволинейный интеграл вдоль линии L от точки A до точки B:
, где .
Для вычисления интеграла воспользуемся формулой:
.
Имеем:
.
Задание 9. Найти частное решение дифференциального уравнения, удовлетворяющее заданному начальному условию:
.
.
Предположим 
.
Подставим 
и 
в последнее уравнение:
.
Получим уравнение с разделенными переменными.
Интегрируем его:
.
Заменим 
на 
: 
.
Найдем с из условия 
:
.
Таким образом, частное решение уравнения имеет вид:
.
Задание 10. Найти общее решение дифференциального уравнения .
Общее решение имеет вид: 
, где 
- общее решение соответствующего однородного уравнения, 
- частное решение неоднородного уравнения.
Найдем общее решение уравнения 
.
Найдем корни характеристического уравнения 
.
(один корень кратности 2).
Значит, общее решение имеет вид: 
.
Находим частное решение исходного уравнения. В нем первая часть 
есть формула вида 
, причем 
является корнем характеристического уравнения, поэтому частное решение будем искать в виде: 
.
Найдем A и B:
,
.
Подставляем 
, 
и в исходное уравнение:
Сокращаем на 
и раскрываем скобки:
Составляем систему для нахождения A и B:
Таким образом 
.
Тогда общее решение исходного уравнения имеет вид:
.
Список литературы.
1 Высшая математика: Общий курс: учебник / Под ред. С. А. Самаля. – Минск: Выш. шк., 2000. – 351 с.
2 Гусак, А. А. Высшая математика: учебник / А. А. Гусак. – 4-е изд. – Минск: ТетраСистемс, 2003. – Т. 1. – 544 с.
3 Гусак, А. А. Высшая математика: учебник / А. А. Гусак. – 4-е изд. – Минск: ТетраСистемс, 2004. – Т. 2. – 448 с.
4 Гусак, А. А. Справочник по высшей математике / А. А. Гусак, Г. М. Гусак, Е. А. Бричикова. – 5-е изд. – Минск: ТетраСистемс, 2004. – 640 с.
5 Жевняк, Р. М. Высшая математика: Функции многих переменных. Интегральное исчисление функций одной и многих переменных. Векторный анализ: учебник / Р. М. Жевняк, А. А. Карпук. – Минск: Выш. шк., 1993. – 411с.
6 Сборник задач по математике для втузов. Линейная алгебра и основы математического анализа: учеб. пособие для втузов / В. А. Болтов [и др.]; под ред. А. В. Ефимова и Б. П. Демидовича. – 2-е изд. – М.: Наука, 1986. – Т. 1. –464 с.
7 Сборник задач по математике для втузов. Специальные разделы мате-матического анализа / В. А. Болтов [и др.]; под ред. А. В. Ефимова и Б. П. Де-мидовича. – 2-е изд. – М.: Наука, 1986. – Т. 2. –368 с.
8 Шипачев, В. С. Высшая математика: учебник / В. С. Шипачев. – 7-е изд. – М.: Высш. шк., 2005. – 479 с.
