Формула Симпсона

При вычислении интеграла с помощью метода Симпсона (парабол), функцию на локальном отрезке заменяют параболой, проходящей через точки , , , где – середина локального отрезка. Построим полином Лагранжа второй степени:

.

Здесь , , .

Тогда

Таким образом, мы получаем формулу Симпсона

.

Можно показать, что формула Симпсона имеет четвертый порядок точности.

ПРИМЕР 4.1. Вычислить интеграл J = .

Найдем значение определенного интеграла точно:

5,25.

Разобьем отрезок на 10 частей, т.е. . Вычислим значение интеграла по формулам левых, правых, средних прямоугольников, по формуле трапеций и формуле Симпсона. Для этого составим таблицы:

	-1		-0.85	4.213375	25.1205
	-0.7	4.267	-0.55	4.181125	24.9675
	-0.4	3.976	-0.25	3.671875	21.9525
	-0.1	3.289	0.05	2.847625	17.0475
	0.2	2.368	0.35	1.870375	11.2245
	0.5	1.375	0.65	0.902125	5.4555
	0.8	0.472	0.95	0.104875	0.7125
	1.1	-0.179	1.25	-0.35938	-2.0325
	1.4	-0.416	1.55	-0.32863	-1.8075
	1.7	-0.077	1.85	0.359125	2.3595

Для нахождения интеграла методом левых прямоугольников, необходимо просуммировать элементы третьего ряда в диапазоне и умножить на шаг . Аналогично для формулы правых прямоугольников, суммировать в диапазоне . Сумма элементов пятого столбца, помноженная на шаг, даст результат по формуле средних прямоугольников. Согласно формуле трапеций, необходимо к полусумме первого и последнего значения элементов третьего столбца добавить сумму всех остальных членов этого столбца, и умножить результат на шаг . Суммируя значения последнего столбца и умножая ее на =0,05, найдем интеграл по методу Симпсона, результаты соберем в таблицу:

Как следует из таблицы, для данной подынтегральной функции формула левых прямоугольников дает приближенное значение с избытком, а формула правых прямоугольников – с недостатком. Хорошую точность дали метод трапеций и метод средних прямоугольников. Результаты различаются, поскольку значения известной подынтегральной функции в методе средних были вычислены в средних точках, а не получены путем интерполяции. Метод Симпсона дал абсолютно точное значение интеграла. Это связано с тем, что первообразная функция в данном примере является полиномом четвертого порядка, для которых метод Симпсона дает точное значение.