Теория эффекта Комптона

Предположение о корпускулярных свойствах фотона дополним представлением о том, что фотон имеет импульс
(2)

Построим теоретическую картину рассеяния фотонов на электронах. Итак, фотон с энергией Eg=ћw и импульсом сталкивается с покоящимся электроном, масса которого равна me. После столкновения фотон частично передает свою энергию электрону и отражается под углом J, имея меньшую энергию и импульс .После отражения электрон приобретает энергию Ee и импульс .

Ниже следующие расчеты надо проводить учитывая, что рассеиваемые фотоны имеют энергии того же порядка, что и энергия покоя электронов. То есть, надо применять релятивистские соотношения.

При столкновении энергия и импульс сохраняются по отдельности. Начальный импульс фотона и импульсы фотона и электрона после столкновения должны лежать в одной и той же плоскости. Законы сохранения энергии и импульса можно записать так:
ћ(w-w`)+ mec2=Ee, (3)
(4)
Уравнение (3) и уравнение (4) почленно возведем в квадрат и после умножения обеих частей уравнения (4) на c2 в новом виде вычтем из первого второе:
(5)

Прежде, чем продвигаться дальше, обсудим геометрический смысл слагаемого . Разность в треугольнике векторов является стороной, лежащей напротив угла рассеяния J. Поэтому по теореме косинусов
(6)
Учтем, что , , и раскроем скобки в левой части уравнения (5). Тогда
-2ћ2ww`+2ћ(w-w`)mec2 +2ћ2ww`cosJ=0. (7)
Решим уравнение (7) относительно частоты рассеянного света w`. Решение дает
(8)

Частота рассеянного света оказывается меньшей частоты падающего света. Это согласуется с ожиданием уменьшения энергии налетающего фотона вследствие передачи части энергии электрону. Как видно, изменения не происходит при J=0 и максимальное изменение частоты происходит при J=p.

Задача 1. Определите, чему равно относительное изменение частоты фотона рассеянного на электроне в противоположную сторону первоначальному направлению распространения.

Решение. Угол рассеяния равен p. После подстановки данного значения угла в формулу (8) получим:
(9)
Изменение частоты w-w` равно
. (10)
Относительное изменение частоты равно
(11)

Задача 2. Эффект изменения частоты рассеянного на электронах света можно проверить экспериментально, пропустив рассеянный свет через спектрометр. Спектрометр измеряет длину волны, прошедшего через него света, а не частоту. Поэтому для оперативного сравнения предсказанной выше формулы (8) с экспериментальными данными надо перевести ее на язык длин волн. Получите формулу для длины волны рассеянного света.

Решение. Длина волны рассеянного света равна . Подставляем w` из (8). Тогда:
,
или
(12)
Величина называется комптоновской длиной волны электрона. Она равна 2,42×10-12 м.

Вопрос 1. Какой физический смысл, на ваш взгляд, можно придать комптоновской длине волны электрона?

Задача 3. Эффект изменения частоты следует ожидать и при рассеянии света на ядрах атомов. Рассмотрите рассеяние фотонов на ядрах атомов водорода. Рассчитайте длину волны рассеянного света.

Возник новый параметр - комптоновская длина волны протона.

Вопрос 2. Что можно сказать об изменении длины волны рассеянного на протонах света в сравнении с соответствующим изменением дины волны рассеянного света на электронах?