2015-07-14
453
1. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна сумме производных этих функций:
.
2. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна сумме произведения производной первого множителя на второй множитель и произведения первого множителя на производную второго:
.
Следствие 1. Постоянный множитель можно вынести за знак производной: 
.
Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные:
.
3. Производная частногодвух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле: 
(
).
Докажем, например, правило 2 (правила1-3 докажите самостоятельно).
Рассмотрим функцию 
. Дадим аргументу 
приращение 
, аргументу 
приращение 
. Соответственно, их произведение получит приращение
.
Составим отношение 
. Переходя в этом равенстве к пределу при 
, получим:
4. Дифференцирование обратной функции.
Если функция 
имеет обратную функцию 
и 
, то обратная функция дифференцируема в точке 
, причем
.
5.
Дифференцирование сложной функции.
Если функции 
и 
дифференцируемы по своим аргументам, то производная сложной функции 
существует и равна произведению производной внешней функции по промежуточному аргументу и производной промежуточного аргумента по независимой переменной: 
.
Таким образом, производные сложных функций можно вычислить по формулам:
Пример. Найти производную функции 
.
