Дифференциал

Пусть функция определена на промежутке Х и дифференцируема в некоторой окрестности точки .

Тогда существует конечная производная .

По теореме о связи предела и бесконечно малой:

, где - бесконечно малая при . Отсюда

Таким образом, приращение функции можно представить в виде суммы двух слагаемых: линейного относительно и бесконечно малого при .

Опр. Дифференциалом функции называется главная, линейная относительно часть приращения функции, равная произведению производной на приращение аргумента:

Рассмотрим функцию у=х и найдем ее дифференциал.

. Таким образом, формула дифференциала может быть записана в виде:

Пример. Найти дифференциал функции .

Выясним геометрический смысл дифференциала. Из : . Таким образом, дифференциал есть приращение ординаты касательной, проведенной к графику функции в данной точке, когда х получает приращение .

Свойства дифференциала аналогичны свойствам производной:

1. d(С)=0;

2. d(u+v)=du+dv;

3. d(uv)=vdu+udv;

4. ;

5. Форма дифференциала инвариантна (неизменна): он всегда равен произведению производной на дифференциал аргумента, независимо от того, простым или сложным является аргумент.

Пример 1. Найти дифференциал функции .