Числа. Непозиционные и позиционные системы счисления

Основой математики является натуральное число. Раскрыть понятие натурального числа можно на основе понятия множества. Например, пусть дан класс множеств, эквивалентных множеству, состоящему из букв a, b, c, d, e. В этот класс входит бесконечное множество множеств: множество пальцев на руке человека, множество сторон многоугольника ABCDE, множество вершин этого многоугольника и т.д. Общим у всех этих множеств является количество или число элементов. И общей количественной характеристикой некоторого класса эквивалентных между собой множеств является натуральное число. Так, число 5 – это количественная характеристика класса, состоящего из множеств, эквивалентных множеству пальцев на руке, т.е. натуральное число есть некоторый класс эквивалентных между собой множеств.

Натуральное число – абстрактное понятие, возникшее из необходимости считать предметы, входящие в то или иное множество. На первых порах число как абстрактное понятие не существовало, у людей счет был связан с конкретным набором объектов. До сих пор в некоторых языках, например, слово “три” используется только в сочетаниях “три дерева” или “три человека”. Представление о том, что эти множества имеют между собой нечто общее – понятие троичности – требует высокой степени абстракции.

Названия чисел появились позже, чем первые символы для обозначения числа объектов. Считать человек начал до того, как он научился писать, поэтому письменных документов, свидетельствовавших о тех словах, которыми в древности обозначали числа, не сохранилось. Необходимость же в письменных названия чисел появилась лишь с переходом людей к оседлому образу жизни, с образованием земледельческих сообществ.

Натуральные числа можно записывать по-разному, например, 1, 2, 3, 4, 5, 6... И еще многими другими способами. Римляне записывали числа I, II, III, IV, V, VI, VII, … X, XX, L, C. Для ЭВМ оказалась самой удобной двоичная система счисления, куда входят лишь символы 0 и 1.

Для представления чисел используются непозиционные и позиционные системы счисления. Система счисления – это знаковая система, в которой числа записываются по определенным правилам с помощью символов некоторого алфавита, называемых цифрами.

В непозиционных системах каждая цифра имеет свой вес, и ее значение не зависит от положения в числе – от позиции. Пример – римская система. Скажем, число 76 в этой системе выглядит так: LXXVI, где L=50, X=10, V=5, I=1. В этой системе счисления цифрами служат латинские символы.

В позиционных системах значения цифр зависят от их положения (позиции) в числе. Так, например, в привычной нам десятичной позиционной системе числа записываются с помощью 10 цифр. Самая правая цифра обозначает единицы, левее — десятки, ещё левее — сотни и т.д. В любой позиционной системе число может быть представлено в виде многочлена.

Представим в виде многочлена десятичное число:

4567 = 4000 + 500 + 60 + 7 = 4·10³ + 5·10² + 6·10¹ + 7·10⁰.

Система счисления – очень сложное понятие. Оно включает в себя все законы, по которым числа записываются и читаются, а так же те, по которым производятся операции над ними.