Позиционная система счисления

Глава 2

Арифметические основы цифровых устройств

Позиционная система счисления

Под системой счисления понимают способ выражения и обозначения чисел. Общепринятым сейчас является позиционное счисление, в котором значение любой цифры определяется не только принятой конфигурацией ее символа, но и местоположением (позицией), которое она занимает в числе.

Изображение чисел в любой позиционной системе счисления с натуральным основанием p (p № 1) базируется на представлении их в виде произведения целочисленной степени p основания p на полином от этого основания:

(2.1)

где N_p – натуральное число в системе счисления с основанием p,

a_i О {0, 1, 2, …, p -1} - цифры p – ичной системы счисления (целые числа),

n – количество разрядов, используемых для представления чисел,

p^m – характеристика числа,

m – показатель, m О{…, -2, -1, 0, 1, 2, …},

p^m p ^{- i} = p^m ^{- i} – позиционный вес i-го разряда числа, определяемый местом соответствующего символа в изображении числа.

Количество цифр в позиционной системе счисления равно ее основанию. Основанием системы счисления p_i называется количество знаков или символов, используемых для изображения числа в данной позиционной системе счисления. В настоящее время наиболее распространенными являются основания 10, 2, 8, 16, которые иногда обозначаются индексами D – Decimal, B – Binary, O – Octanary, H – Hexadecimal соответственно.

Для представления чисел в десятичной системе используются цифры a_i =(0, 1, …, 9), в двоичной – цифры a_i = (0,1), в восьмеричной - цифры a_i = (0, 1, …, 7), в шестнадцатеричной – цифры и буквы a_i =(0, 1, …, 8, 9, A, B, C, D, E, F), где прописными латинскими буквами A ÷ F, обозначены цифры 10, 11, …, 15 десятичной системы.

Цифры p_i, необходимые для построения системы счисления должны удовлетворять неравенству: 0 Ј a_i Ј p – 1.

Если m = const, то это запись числа с фиксированной точкой (запятой). Позиция, в которой запятая фиксируется между разрядами числа, отделяет целую часть от дробной и определяет вес соответствующих разрядов. При m і n числа целые, при m Ј 0 – числа дробные и при 0 Ј m Ј n – смешанные числа.

В качестве примера запишем десятичное число 8274 в виде целого, смешанного и дробного числа.

При m = n = 4 полином этого числа запишется в следующем виде:

10⁴(8Ч10^-1+ 2Ч10^-2 +7Ч10^-3 + 4Ч10^-4) = 8Ч10³ + 2Ч10² + 7Ч10¹ +4Ч10⁰;

Смешанное число запишем при m = 2 и n = 4:

10²(8Ч10^-1+ 2Ч10^-2 +7Ч10^-3 + 4Ч10^-4) = 8Ч10¹ + 2Ч10⁰ + 7Ч10^-1 +4Ч10^-2 = 82.74;

При m = 0, n = 4 получим дробное число

10⁰(8Ч10^-1+ 2Ч10^-2 +7Ч10^-3 + 4Ч10^-4) = 8Ч10^-1 + 2Ч10^-2 + 7Ч10^-3 +4Ч10^-4 = 0.8274;

Позиционная система счисления весьма удобна для выполнения различных арифметических операций (сложение, вычитание, умножение, деление), поэтому она является основной в цифровой и вычислительной технике.

Поскольку в цифровой технике основными логическими элементами являются устройства с двумя устойчивыми состояниями, то основной системой счисления является двоичная. В двоичной системе счисления любое число может быть представлено последовательностью двоичных цифр:

N ₂ = a_m _-1 a_m _-2 … a ₁ a ₀ a _-1 a _-2…,

где a_i принимает значения 0 или 1.

Эта запись соответствует сумме степеней числа 2, взятых с указанными в них коэффициентами:

N ₂ = a_m _-1Ч2 ^m ^-1+ a_m _-2Ч2 ^m ^-2+ … + a ₁Ч2¹ + a ₀Ч2⁰+ a ^-1Ч2^-1 + a _-2Ч2^-2…

Например, двоичное число 10110,101₂ можно записать как

1Ч2⁴ + 0Ч2³ +1Ч2² +1Ч2¹ + 0Ч2⁰ + 1Ч2^-1 +0Ч2^-2 + 1Ч2^-3,

что соответствует десятичному числу 22.875₁₀.

Для представления служебной информации при подготовке к решению задач на ЭВМ (например, номера команд, адресов, ячеек …) применяют вспомогательные системы счисления – восьмеричную (Octanary) и шестнадцатеричную (Hexadecimal).

Восьмеричная система счисления имеет основание P = 8 и a_i = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7. Любое восьмеричное число может быть представлено десятичным эквивалентом с помощью формул разложения (2.1). Например, восьмеричное число 37.64₈ будет равно:

(37.64)₈ = 3Ч8¹ +7Ч8⁰ + 6Ч8^-1 + 4Ч8^-2 = 31.8125₁₀.

Запись команд программы в восьмеричной системе будет в три раза короче, чем в двоичной.

Шестнадцатеричная система счисления имеет основание P = 16 и цифры a_i = 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Буквами A, B, C, D, E, F обозначены, соответственно, десятичные цифры 10, 11, 12, 13, 14, 15. С помощью формул разложения (2.1) любое шестнадцатеричное число может быть представлено десятичным эквивалентом.