2014-02-02
2171
Целые числа в позиционных системах счисления.
Система счисления.
Арифметические основы компьютеров
| Система счисления — это способ записи чисел с помощью заданного набора цифр. |
Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.
В непозиционных системах вес цифры, определяющий значение числа, не зависит от ее позиции в записи числа. Так, в римской системе счисления в числе ХХХ (тридцать) вес цифры Х в любой позиции равен десяти.
В позиционных системах счисления вес каждой цифры изменяется в зависимости от ее положения (позиции) в последовательности цифр, представляющих число. Например, в числе 757,7 первая семерка означает 7 сотен, вторая – 7 единиц, а третья – 7 десятых долей единицы. Число 757,7 означает по сути сокращенную запись выражения:
700 + 50 + 7 + 0,7 = 7•102 + 5•101 + 7•100 + 7•10-1 = 757,7.
Любая позиционная система счисления характеризуется своим основанием.
| Основание позиционной системы счисления определяется количеством цифр, используемых для записи чисел в данной системе. |
В десятичной системе используется десять различных цифр. Однако
возможно бесчисленное множество позиционных систем: двоичная, троичная, четверичная и т.д. Запись чисел в системе счисления с основанием - q означает сокращенную запись выражения в общем виде:
an-1 an-2…. a1 a0 , a-1 a-2… a-m=an-1 qn-1 + an-2 qn-2+... + a1 q1 + a0 q0 + a-1 q-1 +... + a-m q-m,
где ai – цифры числа в системе счисления; n и m – число целых и дробных разрядов, соответственно.
Целые числа в любой системе счисления порождаются с помощью общего Правила счета:
| Для образования целого числа, следующего за любым данным целым числом, нужно увеличить самую правую цифру числа на единицу; если в результате этой операции какая-либо цифра стала нулем, то тогда нужно увеличить цифру, стоящую слева от неё на единицу. |
Применяя это правило, можно записать первые десять целых чисел
· в двоичной системе: 0, 1, 10, 11, 100, 101, 110, 111, 1000, 1001;
· в троичной системе: 0, 1, 2, 10, 11, 12, 20, 21, 22, 100;
· в пятеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 10, 11, 12, 13, 14;
· восьмеричной системе: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10, 11.
Кроме десятичной широко используются системы с основанием, являющимся целой степенью числа 2, а именно:
· двоичная (используются цифры 0, 1);
· восьмеричная (используются цифры 0, 1,..., 7);
· шестнадцатеричная (для первых десяти цифр от нуля до девяти используются цифры 0, 1,..., 9, а для следующих цифр — от десяти до пятнадцати – в качестве цифр используются символы A, B, C, D, E, F).
Для технической реализации в компьютерах используется двоичная система счисления, потому, что она намного проще десятичной в реализации:
а) для нее нужны технические устройства только с двумя устойчивыми состояниями (есть ток — нет тока, намагничен — не намагничен и т.п.);
б) возможно применение аппарата булевой алгебры для выполнения логических преобразований информации.
Недостатком двоичной системы является быстрый рост числа разрядов, необходимых для записи чисел.
