Структура и язык современной математики

Четвертый, современный период в развитии математики начался во второй половине XIX в. Он имеет собственные особенности.

1) Накопленный огромный фактический материал привел к необходимости углубленного логического анализа и объединения его с новых точек зрения. Связь математики с естествознанием приобрела все более сложные формы. Новые теории стали возникать не только в результате непосредственных запросов практики, естествознания и техники, но также из внутренних потребностей самой математики. Наиболее важные из них: развитие теории функций, теории групп, связанной с исследованием проблемы разрешимости алгебраических уравнений в радикалах, создание неэвклидовых геометрий.

2) Математика значительно расширила области своих приложений. До этого она применялась лишь в таких разделах физики, как механика и оптика, а с XIX в. её результаты стали находить приложение в электродинамике, теории магнетизма, термодинамике. Резко возросли потребности в математике и в технике: в баллистике, машиностроении и др.

3) Возникло усиленное внимание к вопросам обоснования, критического пересмотра исходных положений (аксиом), к построению строгой системы определений и доказательств и к критическому рассмотрению логических приемов этих доказательств. Расширение области исследования математики сопровождалось возрастанием абстрактности её понятий и теорий.

Революционный переворот во взглядах на математику был связан с новым пониманием аксиометрического метода. На современном историческом этапе развития познания в математике идет дальнейшее освоение философских категорий: теория вероятностей “осваивает” категории возможного и случайного; топология – категории отношения и непрерывности; теория катастроф – категорию скачка; теория групп – категории симметрии и гармонии и т.д.

Принципиально новые возможности мыслительной деятельности появились с изобретением ЭВМ, приведшем к созданию машинной математики. Это привело к существенным изменениям языка математики. Язык в широком смысле – это его лексикон и грамматика. А язык современной математики – это язык алгоритмов и программ, включающий старый язык формул в качестве частного случая. Язык современной вычислительной математики становится все более универсальным, способным описывать сложные (многопараметрические) системы. Математический язык – это результат совершенствования естественного языка по различным направлениям: устранение громоздкости и двусмысленности естественного языка, расширение его выразительных возможностей. Овладение математическим языком предполагает сознательное усвоение содержания математических понятий, отношений между ними (аксиом, теорем) и умение рационально и грамотно выразить математическую мысль в устной и письменной форме с помощью средств математического языка, а также свободное оперирование математическими знаниями, умениями и навыками на практике.