Экстремумы функции

Наименьшее значение функции в окрестности некоторой точки х, называют минимальным значением (min), а наибольшее ее значение — максимальным (max). Дадим строгое определение этим понятиям.

Определение 1. Точка х ₀ из области определения функции f называ­ется точкой минимума этой функции, если у этой точки есть окрест­ность (х ₀ - δ, х ₀ + δ), во всех точках которой, не совпадающих с точкой х ₀,

f(x) > f(x₀). (47)

Определение 2. Точка х₀ из области определения функции f называ­ется точкой максимума этой функции, если у этой точки есть окре­стность (х₀ - δ, х₀ + δ), во всех точках которой, не совпадающих с точ­кой х₀,

f(x) < f(x₀). (48)

Максимумы и минимумы называются экстремумами функции.

Замечание. Так как речь идет об экстремальных значениях функции в окрестностях некоторых точек, то иногда определенные нами экс­тремумы называются локальными экстремумами.

У непрерывной функции точки минимума и максимума обязатель­но чередуются.

Необходимое условие существования экстремума.

Теорема Ферма. Если внутренняя точка х₀ из области определения непрерывной функции f(х) является точкой экстремума и в этой точке существует производная, то она равна нулю, т. e.f '(x₀) = 0.

Чтобы определить, имеет ли функция экстремум в данной точке, необходимо воспользоваться достаточными условиями его существования.