Выпуклость, вогнутость кривой. Точки перегиба

Исследование функции на экстремум и определение его типа (мак­симум или минимум) во многих случаях проще выполняется не путем анализа перемены знака производной при ее прохождении через крити­ческую точку, а с помощью второй производной.

Определение 1. Непрерывная линия называется выпуклой или обра­щенной выпуклостью вверх на отрезке [ а, b ], если все точки этой линии ле­жат выше (не ниже) хорды, соединяющей любые две ее точки (рис. 4. а).

Аналогично, вогнутой (обращенной выпуклостью вниз) называет­ся линия, проходящая ниже (не выше) своих хорд (рис. 4, б).

Рис. 4.

Замечание. В некоторых руководствах выпуклость и вогнутость иногда определяются противоположным образом.

Определение 2. Точки, отделяющие выпуклые участки линии от вогнутых (и наоборот), называются точками перегиба.

Теорема. Если вторая производная функции у = f(х) в данном проме­жутке значений х положительна, то кривая вогнута в этом промежутке, а если отрицательна — выпукла.

Точками перегиба являются те точки, при переходе через которые вторая производная меняет знак.

Линия называется выпуклой (или вогнутой) в точке, если значе­ние ее второй производной в данной точке меньше (или больше) нуля.

Пример 1. Выяснить, выпуклая или вогнутая линия у = 3 x ³ + 8 в точке с абсциссой х = 3.

Решение. Находим производные у' = 6 х ² и у" = 12 х. В точке х = 3 имеем:

у" (3) = 12 • 6 = 36 > 0. Значит, в точке х = 3 данная линия вогнута.