Наибольшее и наименьшее значения функции

На рис. 3 изображен график некоторой функции у = f(х), определенной на отрезке

[ а, b ].

На данном отрезке наша функция в точках х_1, х₂, х₃, х₄, х₅ принимает экстремальные значения. Для определения наименьшего и наибольшего значений дифференцируемой функции на всем данном отрезке [ а, b ]следует найти все критические точки функции, лежащие внутри отрезка, вычислить значения функции в этих точках и на концах отрезка и из всех полученных таким образом чисел выбрать наименьшее и наибольшее, т. е., как говорят, найти глобальные экстремумы функции.

Рис. 3.

Пример 1. Найти наименьшее и наибольшее значение функции на отрезке [-3, 4].

Решение. 1) Находим производную: .

2) Находим корни производной: х ₁ = -2 и х ₂ = 2.

3) Исследуем значение производной в окрестности критической точки х = -2:

y’ (-3) = 1,5 > 0 и y’ (-1)= -0,9 < 0. Следовательно, в точке x ₁ = -2 данная функция имеет максимум, равный 2,6.

Аналогично находим, что в критической точке х ₂ = 2 данная функция имеет минимум, равный – 0,6.

В примере требуется найти наибольшее и наименьшее значение функции в промежутке

[-3, 4], поэтому необходимо найти значение функции и на концах этого промежутка.

Имеем: у (-3) = 1,9 и у (4) = 2,6. Следовательно, наименьшее значение, равное - 0,6, данная функция достигает в точке х = 2, а наибольшее значение 2,6 в двух точках: х = - 2 и х = 4.

Пример 2. Каковы должны быть размеры прямоугольной комнаты площадью 25 м², чтобы периметр ее был наименьшим?

Решение. Примем длину комнаты равной х (м), тогда ширина равна , а периметр

Периметр у есть функция длины х, определенная для всех положительных значений х. Определим интервалы ее возрастания и убывания. Находим производную: . Так как знаменатель больше нуля и длина х положительна, то знак производной определяется знаком разности (х - 5). Таким образом, периметр прямоугольника имеет наименьшее значение (минимум), если длина прямоугольника 5 м и ширина т. е. когда комната имеет квадратную форму.