Колебания, вызванные периодическими изменениями инерционных характеристик механической системы

Периодические изменения сил, действующих на механическую систему, а также перемещений тел механической системы могут стать причиной изменения моментов инерции тел, образующих механическую систему. Изменение моментов инерции тел вызовут дополнительные вынужденные колебания механической системы. Математическое описание происходящих при этом процессов подробно рассмотрено в специальных курсах [10,11].

Для упрощенного понимания данного вопроса в начале рассмотрим собственные колебания кузова железнодорожного вагона относительно оси, перпендикулярной его боковой поверхности и проходящей через центр масс кузова. Такие колебания на транспорте называют галопированием [9].

На рис.9.15а изображена расчетная схема вагона в состоянии покоя. На рис. 9.15б – в момент отклонения вагона на некоторый угол j из положения равновесия.

Как известно из теоретической механики, момент сил инерции тела, вращающегося относительно оси y, равен ,где I_y – момент инерции тела (в данном случае кузова вагона) относительно оси y, а – угловое ускорение вращения кузова вокруг этой же оси.

Используя принцип Даламбера, рассмотрим вагон в состоянии мгновенного равновесия:

, (9.20)

а) б)

Рис.9.15.

где M – момент сил упругости, действующих на вагон относительно точки О.

Момент М образуется силами, возникающими в рессорном подвешивании.

Очевидно, что

Тогда

Обозначив (9.21)

получим дифференциальное уравнение собственных колебаний механической системы с одной степенью свободы:

(9.22)

где – угловая частота собственных колебаний галопирования кузова вагона

(9.23)

Из этой формулы следует, что чем меньше жесткость рессорного подвешивания с₁, чем больше момент инерции кузова I_y, тем меньше частота собственных колебаний галопирования .

При перевозке сыпучих и особенно жидких грузов момент инерции кузова вагона I_y не является величиной постоянной, а представляет собой функцию угла поворота j. Перепады величины I_y вызовут дополнительные колебания вагона относительно оси y.

Исследуем влияние момента инерции кузова на характер его вынужденных колебаний. Для этого рассмотрим движение двухосного вагона по абсолютно жесткому рельсовому пути, имеющему волнообразные неровности (рис. 9.16). Будем считать, что неровности пути по обоим рельсам одинаковые.

Обозначим текущую ординату неровностей под первым колесом z_1k, а под вторым z_{2 k}. Очевидно, что второе колесо проходит те же неровности, что и первое, но с опозданием, равным времени, пока вагон пройдет путь, соответствующий расстоянию между осями колесных пар 2l, т.е.

, (9.24)

где v – скорость движения вагона.

Имеем систему с двумя степенями свободы. В каждый момент времени положение кузова вагона характеризуется двумя независимыми параметрами: линейной координатой z и углом поворота j.

Деформации рессор у первого и второго колеса соответственно равны:

(9.25)

Рис. 9.16.

На основании принципа Даламбера, составим дифференциальное уравнение вынужденных колебаний кузова вагона вдоль оси z (колебания подпрыгивания):

(9.26)

Подставляя сюда D z₁ и D z₂ из выражения (9.25), получим:

(9.27)

Обозначим , получим

, (9.28)

где – угловая частота собственных колебаний подпрыгивания.

Для получения дифференциального уравнения описывающего вынужденные колебания кузова вагона относительно оси y (галопирование), также воспользуемся принципом Даламбера:

, (9.29)

где – момент сил упругости, приложенных к кузову вагона,

, (9.30)

Учитывая выражения (9.25) и (9.30) получим

(9.31)

Подставляя значение в уравнение (9.29), получим

,

или , (9.32)

Примем в качестве функции неровностей пути выражение вида

, (9.33)

где 2h – глубина неровности пути, измеренная между двумя горбами (рис.9.16)

w – частота возмущающего фактора

, (9.34)

здесь l_н – расстояние между двумя соседними горбами неровностей,

Т – время движения колес от одного горба неровностей до другого,

v – скорость движения вагона.

Подставляя выражение (9.33) в формулы (9.28) и (9.32) окончательно получим:

, (9.35)

, (9.36)

Выражения (9.35) и (9.36) представляют собой дифференциальные уравнения, из которых при заданных параметрах и заданных начальных условиях могут быть определены колебания подпрыгивания z и галопирования j.

Анализ выражений (9.35), (9.36) показывает, что характер вынужденных колебаний кузова зависит от частот его собственных колебаний , . Поскольку в выражение (9.36) входит величина , следовательно, изменение значений момента инерции I_y, при перевозке сыпучих и жидких грузов, будет оказывать существенное влияние на вынужденные колебания кузова вагона.

Вопросы для самоконтроля:

1. Назовите колебания кузова вагона, возникающие при его движении по рельсовому пути, имеющему волнообразные неровности. В чем причина этих колебаний?

2. Почему при изучении вынужденных колебаний механической системы предварительно рассматривают ее собственные колебания?

3. Какие дополнительные колебания возникают при перевозке сыпучих и жидких грузов? Назовите причину этих колебаний.

4. Как влияет жесткость рессорного подвешивания на частоту собственных колебаний кузова вагона?

5.Как влияет положение центра тяжести вагона на частоту колебаний?

6. Влияет ли величина момента инерции вагона на частоту колебаний?