Определение параметров параболы

Если связь между признаками Y и X нелинейная и описывается уравнением параболы второго порядка, то

В данном случае задача сводится к определению неизвестных параметров а, b, с.

Применив метод наименьших квадратов, получим уравнение:

Для нахождения значений неизвестных параметров а, b, с, при которых Функция была бы минимальной, необходимо приравнять частные производные по этим величинам к нулю, т. е.:

Проделав преобразования, получим систему нормальных уравнений:

Решив систему уравнений, найдем значения неизвестных параметров а,в,с и подставив их в получим уравнение регрессии

Оценка параметров конкретной регрессии является лишь отдельным этапом длительного и сложного процесса построения эконометрической модели. Первое же оцененное уравнение очень редко является удовлетворительным во всех от­ношениях. Обычно приходится постепенно подбирать формулу связи и состав объясняющих переменных, анализируя на каждом этапе качество оцененной за­висимости. Этот анализ качества включает статистическую и содержательную составляющую. Проверка статистического качества оцененного уравнения со­стоит из следующих элементов:

- проверка статистической значимости каждого коэффициента уравнения регрессии;

- проверка общего качества уравнения регрессии;

- проверка свойств данных, выполнение которых предполагалось при оце­нивании уравнения.

Под содержательной составляющей анализа качества понимается рассмотрение экономического смысла оцененного уравнения регрессии: действительно ли значимыми оказались объясняющие факторы, важные с точки зрения теории; положительны или отрицательны коэффициенты, показывающие направление воздействия этих факторов; попали ли оценки коэффициентов регрессии в пред­полагаемые из теоретических соображений интервалы ит.д..

Рассмотрим пример построения простой эконометрической модели:

Построить эконометрическую модель зависимости производительности труда у от стажа работы х рабочих бригады по приведенным данным ранжированных по стажу их работы.

Таблица1.

Номер рабочего	Стаж работы, годы, х	Дневная выработка рабочего, шт., у	Х 2	У 2	ХУ	Ŷ
4-ый 6-ый 3-ый 1-ый 2-ой 7-ой 9-ый 10-ый 8-ой 5-ый	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	4 5 6 7 7 8 8 9 10 9	1 4 9 16 25 36 49 64 81 100	16 25 36 49 49 64 64 81 100 81	4 10 18 28 35 48 56 72 90 90	4.6 5,2 5,8 6,4 7.0 7,6 8,2 8,8 9.4 10,0
Итого	55	73	385	565	451	73,0

РЕШЕНИЕ:

Построим искомую модель в виде уравнения (3.1).Используя расчетные значения

(таблица 1) и соответствующие формулы (3.3) найдем параметры уравнения:

а₁ = (45,1 – 40,15) / (38,5 – 30,25) = 0,6;

а₀ = 7,3 – 0,6 * 5.5 = 4.0.

Таким образом, эконометрическая модель распределения выработки по стажу работы для данного примера может быть записана в виде следующего уравнения регрессии:

Ŷ= 4,0 + 0,6х

Правильность расчета параметров уравнения может быть проверена сравнением сумм ∑У = ∑ Ŷ (при этом возможно некоторое расхождение вследствие округления расчетов).

Для практического использования моделей регрессии большое значение имеет их адекватность – соответствие фактическим статистическим данным. Достоверность построенной эконометрической модели можно прове-

рить, используя элементы дисперсионного анализа

Вычислив линейный коэффициент парной корреляции (для линейной регрессии) или индекс корреляции (для нелинейной регрессии), оценим тесноту связи изучаемых явлений:

r _xy = (yx – y. x)/σ_xσ_y, ρ_xy = √1 - σ_ост.²/ σ_у² (3. 7)

Значение линейного коэффициента (индекса) парной корреляции лежит в пределах от -1 до 1. (от 0 до 1)

Коэффициент (индекс) детерминации равен квадрату коэффициента (индекса) корреляции и показывает сколько процентов вариации резуль

тативного признака у объясняется вариацией фактора х.

Средняя ошибка аппроксимации Ā оценивает точность моделиивычис-

ляется по формуле:

Ā =Σ Ai/n, Ai = │(у_i – у_x)/ y_i│. 100% (3. 8)

Допустимый предел значения Ā – не более 8 - 10 %.

Средний коэффициент эластичности Э _yxi показывает, на сколько про-

центов в среднем по совокупности изменится результат у от своей сред

ней величины у и вычисляется по формуле:

Э _yxi = a_i x_i / y. (3. 9)

Так как корреляционный и регрессионный анализ, особенно в условиях малого и среднего бизнеса, проводится для ограниченной по объему совокупности, то параметры уравнения регрессии, коэффициенты корреляции и детерминации могут быть искажены действием случайных факторов.

Для проверки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции используют t – критерий Стьюдента Оценка проводится путем сопоставления оценок соответствующих параметров с величиной их случайной ошибки (первая и вторая строки при использовании функции ЛИНЕЙН). Эта величина имеет t - распределение Стьюдента с n–2 степенями свободы и называется t- статистикой:

t _{а1 .факт.} = а₁ / Sа₁; t _{а0 .факт.} = а ₀ /Sа₀; t _r.факт. = r/Sr, (3. 10)

где

S а₁=S _ост. / σ_x√n - 2, S_a0=S _ост/√п - 2, Sr =√ (1-r² )/(n-2) (3. 11)

S²ост. = Σ(Y – Ŷ)²/ n

Для t- статистики проверяется нулевая гипотеза H₀ т.е. утверждение о том, что величина y не зависит от х, то есть а₁ = 0. Альтернативная гипотеза H_a заключается в том,что а₁≠ 0, иными словами, что значение х влияет на величину

у.

Если t _факт. > t _табл., то гипотеза Н₀ отклоняется, т.е. коэффициен-