Координатам х,у

Контролем результата решения первого преобразования координат является обратное преобразование: по полученным значениям плоских координат вычислить значения геодезических координат точки на тех же эллипсоидах.

Для симметричных проекций функции преобразования представляются в виде рядов разложения по степеням ординаты “у”:

B = A₀ + A₂ y² + A₄ y⁴+ ……

ℓ= P₁ y + P₃ y³ + P₅ y⁵ + ….., где ℓ = L - L₀

Для любой точки осевого меридиана (ℓ =0) при соблюдении условия Гаусса, что для осевого меридиана Х = х, ее широта равна В_Х = А₀ . Используя формулу для длины дуги меридиана, имеем:

Х dХ х dх

А₀ =В_Х =∫₀ ---- = ∫₀ ----- - широта точки на осевом меридиане с

М М

плоскими координатами х и у= 0 и геодезическими В_х и L₀ ,т.е. при ℓ=0.

В_х = β + b₂ sin 2 β + b₄ sin 4β + b₆ sin 6 β + …, где β = х / a₀

Для эллипсоидов: Красовского WGS-84

a₀ = 6 367 558,497 м 6 367 449,146 м

b₂ = 0,002 518465 0, 002 518 827

b₄ = 0,000 003700 0, 000 003 701

b₆ = 0,000 000 0070, 000 000 007

Вычислив значение В_х, вычисляют значения коэффициентов А и Р:

V²_x tg Bx

А₂ = - --------------, N_x = a / √ 1 – e² sin² B_x, V_x = c/ N_x ,

2 N²_x

A₂

A₄ = - ------ (5 + 3 tg² B_x + η²_x - 9 η²_x tg² B_x - 4 η⁴_x),

12 N²_x

A₂

A₆ = ----------(61+90tg² B_x +45tg⁴ B_x +46 η²_x -252 η²_x tg² B_x -90 η²_x tg⁴ B_x)

360N_x⁴

1 Р₁

Р₁ = -------------, P₃ = - ------------ (1 +2 tg² B_x + η²_x),

N_x cos Bx 6 N_x²

P₁

P₅ = ------------- (5 + 28 tg² B_x + 24 tg⁴ B_x + 6 η²_x + 8 η²_x tg² B_x)

120 N_x⁴

С этими коэффициентами значения координат выражаются в радианах.

Значение долготы определяется как

L = L₀ + ℓ,

т.е. необходимо знать значение долготы осевого меридиана L₀ зоны, в которой находится точка.

Если численные значения коэффициентов вычислять по элементам эллипсоида Красовского, то можно воспользоваться более удобными формулами:

B = B_x – [ 1 – (b₄ – 0,12z²)z²] z²b₂;

ℓ = [1 – (b₃ - b₅z²)z²]z,

B_x= β+{50221746+[293622 +(2350 + 22cos²β)cos²β] cos²β}sinβcosβ 10^-10

β = x / 6 367 558,4969 z = y / N_x cos B_x

b₂ = (0,5 + 0,003 369 cos²B_x)sinB_x cosB_x

b₃ = 0,333 333 – (0,166 667 – 0,001 123 cos²B_x) cos²B_x

b₄ = 0,25 + (0,16161 + 0,00562 cos²B_x) cos²B_x

b₅ = 0,2 – (0,1667 – 0,0088 cos²B_x) cos²B_x.

Результаты решения представить в таблице для обоих эллипсоидов.