Линейные операции над векторами

Сложение векторов

Суммойдвух векторов и называется третий вектор , начало которогосовпадает с началом вектора , а конец с концом вектора при условии, что вектор приложен к концу вектора (правило треугольника) (Рис. 2). Тогда

Наряду с правилом треугольника часто пользуются равносильным ему правилом параллелограмма: если векторы и приведены к общему началу и на них построен параллелограмм, то сумма есть вектор, совпадающий с диагональю этого параллелограмма, идущий из общего начала векторов и (Рис.3).

Сложение векторов подчиняется основным законам сложения чисел:

, .

Эти свойства позволяют определить сумму любого числа слагаемых по правилу замыкающего вектора, при этом слагаемые можно перемещать и группировать произвольным образам.

Разностью векторов и называется третий вектор , который в сумме с вектором даёт вектор .

Если два вектора приведены к общему началу, то их разность есть вектор, идущий из конца «вычитаемого» к началу «уменьшаемого» вектора (Рис. 4).

Умножение вектора на число

Произведением вектора и числа называется вектор , который коллинеарен вектору , имеет длину равную , сонаправлен с вектором , если , и противоположнонапровлен, если . Если или , то . Обозначается

Геометрический смысл операции умножения вектора на число можно выразить следующим образом: если , то вектор «растягивается» в раз, если , то «сжимается» в раз. При направление не меняется, при направление меняется на противоположное.