Заменим исходное уравнение f (x) =0 равносильным уравнением x=j (x). Тогда формула для вычисления последовательных приближений будет выглядеть так:
xn+1=j (xn)(n=0, 1, 2,…); где x0 – начальное приближение, x0 [ a, b ].
Приведем достаточное условие сходимости итерационного процесса:
Теорема. Пусть функция j (x) определена и дифференцируема на отрезке
[ a, b ], причем все ее значения j (x) [ a, b ]. Тогда, если существует q такая, что
| j¢ (x)| £ q < 1 для всех x [ a, b ],
то процесс итерации xn+1=j (xn)(n=0, 1, 2,…) сходится независимо от начального значения x0 [ a, b ] и предельное значение x= является единственным корнем уравнения x=j (x)на отрезке [ a, b ].
Критерий завершения вычислений имеет вид: | xn+1 - xn | £ e,
где q = max|j' (x) |, при x [ a,b ] и e - заданная точность.
На рис. 4.3 приведена геометрическая интерпретация сходящегося (|j' (x) |< 1)и расходящегося (|j' (x) | > 1)итерационных процессов.
Рис. 4. 3