Реализация метода разностной прогонки для уравнения параболического типа

Рассмотрим задачу на примере краевой задачи (9.7). Выберем равномерную прямоугольную сетку, определим узлы по правилу:

x_m=m h, m = 0,1,…,M, h = 1/M>0,

t_n=n t, n = 0,1,…,N, t >0, Nt £ T < (N+1) t.

Будем использовать неявную разностную схему (9.9), которая аппроксимирует задачу (9.7) с погрешностью O(t+h²) и является абсолютно устойчивой.

Положим в (9.9) n =0, получим:

Перепишем в следующем виде, обозначив:

s - (1+2s) + s =-t - , m=1,2,…,M-1, (9.10)

(0 £ m £ M) - искомое решение задачи на первом слое по времени.

Предположим, что между соседними значениями этого решения существует связь:

= a_i +b_i, i=0,1,…,M-1, (9.11)

где a_i, b_i - некоторые числовые коэффициенты. При i=0 определим a₀, b₀ таким образом, чтобы выполнялось левое граничное условие = m₁(t). Для чего достаточно положить a₀=0, b₀=m₁(t). Возьмем i=m-1. Значение , определяемое по формуле =a_m-1 +b_m-1, подставим в (9.10) и преобразуем опять к виду (9.11), получим вид прогоночных коэффициентов a_m, b_m:

a_m = , b_m= , m=1,…,M-1. (9.12)

Определение прогоночных коэффициентов по формулам (9.12) для m=1,…,M-1 называется прямым ходом метода прогонки. По условию задачи . Обратный ход метода прогонки заключается в вычислении значений функции U¹_i, для i=M-1,M-2,…,1 по формуле (9.11). Далее переходим на следующий слой по времени и т. д.