2015-07-14
249
Теорема (Коши).
Для того, чтобы у функции 
, определенной в интервале 
, существовал придел необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие: 
опр. на 
Доказательство.
,тогда фиксируем произвольную 
. Для этой зафиксированной 
. Таким образом 
имеем,что 
.
Рассмотрим 
. Раз это так, то верным является, что 
. По условию 
выполняется, что 
. Таким образом, 
является фундаментальной 
.
Докажем, что A не зависит от выбора последовательности. Рассмотрим любую другую последовательность 
.И пусть, 
,посмотрим, будет ли A=B. Смешаем два последовательности так, что на четных местах одна, а на нечетных другая: 
. 
-фундаментальная, так как смешали две фундаментальные последовательности и 
,но последовательность - подпоследовательность 
; а последовательность 
- подпоследовательность 
.И из этого следует, что 
.
