Критерии Коши. Существование пределов функций

Теорема (Коши).

Для того, чтобы у функции , определенной в интервале , существовал придел необходимо и достаточно, чтобы выполнялось условие:

опр. на

Доказательство.

,тогда фиксируем произвольную . Для этой зафиксированной . Таким образом имеем,что .

Рассмотрим . Раз это так, то верным является, что . По условию выполняется, что . Таким образом, является фундаментальной .

Докажем, что A не зависит от выбора последовательности. Рассмотрим любую другую последовательность .И пусть, ,посмотрим, будет ли A=B. Смешаем два последовательности так, что на четных местах одна, а на нечетных другая: . -фундаментальная, так как смешали две фундаментальные последовательности и ,но последовательность - подпоследовательность ; а последовательность - подпоследовательность .И из этого следует, что .