Критерий Гурвица

Это самый универсальный критерий, который позволяет управлять степенью «оптимизма - пессимизма». Введем некоторый коэффициент , который назовем коэффициентом доверия или коэффициентом оптимизма. Наихудший вариант можно ожидать с вероятностью (1- ). Так как коэффициент нам не задан, то следует его принять .

Для реализации критерия определяются наилучшие и наихудшие значение каждой альтернативе. Далее, вычисляется функции полезности по формуле:

Выбираем ту альтернативу, для которой функция полезности максимальна. Выбираем А₂.

Принятие решений в условиях противодействия

Решение биматричных игр.

Вариант 7.

Условие:

Платёжные матрицы

,

Решение:

В каждом столбце матрицы A найдем максимальный элемент. Эти элементы подчеркнуты в матрице A. Их положение соответствует приемлемым ситуациям 1-го игрока, когда второй игрок выбрал стратегию j соответственно. Аналогично для второго игрока.

,

Т.к. равновесных точек нет, то ищем решение в смешанных стратегиях.

Вероятности р₁=р, р₂=1-р, q₁=q, q₂=1-q, а средние выигрыши вычисляются по формулам:

H_a(p,q) = a₁₁p q + a₁₂ p(1-q) + a₂₁(1-p)q + a₂₂(1-p)(1-q),

H_b(p,q) = b₁₁pq + b₁₂ p(1-q) + b₂₁(1-p)q + b₂₂(1-p)(1-q),

где 0 ≤ p ≤ 1, 0 ≤ q ≤ 1,

Полагая p = 1, а потом p = 0, получаем, что

H_A(1,q) = (a₁₁ - a₁₂ - a₂₁ + a₂₂)q + a₁₂ + (a₂₁ - a₂₂)q,

H_A(0,q) = (a₂₁ - a₂₂)q + a₂₂

Рассмотрим разности

H_A(p,q) - H_A(1,q) = (a₁₁ - a₁₂ - a₂₁ + a₂₂)pq + (a₁₂ - a₂₂)p – (a₁₁ - a₁₂ - a₂₁ + a₂₂)q + a₂₂ – a₁₂,

H_A(р,q) - H_A(0,q) = (a₁₁ - a₁₂ - a₂₁ + a₂₂)pq + (a₁₂ - a₂₂)p

Полагая C = a₁₁ - a₁₂ - a₂₁ + a₂₂, α = a₂₂- a₁₂, получим

C = -2 - 1 - 4 -10 = -17

α = -10 - 1 = -11

H_A(p,q) - H_A(1,q) = Cpq – αp – Cq + α = (p–1)(Cq-α)

H_A(p,q) - H_A(0,q) = Cpq – αp = p(Cq-α)

В случае, если пара (p,q) определяет точку равновесия, эти разности неотрицательны, поэтому:

(p–1)(Cq-α) ≥ 0, p(Cq-α) ≥ 0

(p–1)(-17q+11) ≥ 0

p(-17q+11) ≥ 0

получаем, что:

q

1) p=1,q ≥ ¹¹/₁₇

p=0, q ≤ ¹¹/₁₇

0 ≤ p ≤ 1, q=¹¹/₁₇

То же самое проделаем для матрицы В.

D = b₁₁-b₁₂-b₂₁+b₂₂

β = b₂₂-b₂₁

D = 2 - (-1) - (-4) + 5 = 12

β = 5 - (-4) = 9

p

(q-1)(12p-9) ≥ 0

q(12p-9) ≥ 0

q=1,p ≥ ³/₄

q=0, p ≤ ³/₄

0 ≤ q ≤ 1, p=³/₄