Общая схема исследования функции и построения графика

Исследование функции целесообразно вести в определенной последовательности.

1. Найти область определения функции.

2. Выяснить, является ли функция четной, нечетной или общего вида.

3. Найти вертикальные асимптоты графика функции.

4. Исследовать поведение функции в бесконечности, найти горизонтальные и наклонные асимптоты.

5. Найти интервалы монотонности и экстремумы функции.

6. Найти интервалы выпуклости и точки перегиба.

7. Найти точки пересечения с осями координат.

8. Построить график функции.

Пример. Проведите исследование функции и постройте ее график.

По плану исследуем функцию

1. Область определения D(f) – вся числовая ось, за исключением точек х = –2 и х = 2, т.е.

D(f) = (-¥; -2) È (-2; 2) È (2; +¥).

2. Функция непериодическая; исследуем ее на четность и нечетность: область определения симметрична относительно начала координат,

.

Следовательно, данная функция нечетная и ее график симметричен относительно начала координат. Поэтому далее исследуем функцию только при х ³ 0.

3. Определим вертикальные асимптоты функции:

,

т.е. прямая х = 2 – вертикальная асимптота. Отсюда в силу симметрии, следует, что прямая х = – 2 – также вертикальная асимптота.

4. Найдем наклонные асимптоты:

т.е. прямая у = – х – наклонная асимптота при х ® +¥ (то же и при х ® –¥).

5. Найдем интервалы монотонности и экстремумы функции, исследуя первую производную:

.

Приравняв производную к нулю, определим критические точки: х = и х = – .

–

–2

+

+

+

–

–

f '(x)

f (x)

min

max

Исследуем знак производной на полученных интервалах.

Отсюда видно, что функция имеет минимум в точке х = – (причем f(– )»5,2) и максимум в точке х = (причем f()» –5,2). Возрастает на интервалах (- ; -2) È (-2; 2) È (2; ) и убывает на интервалах (-¥; - ) È (; +¥).

6. Чтобы определить интервалы выпуклости и точки перегиба, вычислим вторую производную функции:

.

Данное выражение обращается в нуль лишь при х = 0.

f ¢¢(x)

х

–

+

–2

–

+

перегиб

Отсюда ясно, что на интервалах (-¥; -2) и (0; 2) функция выпукла вниз, а на интервалах (-2; 0) и (2; +¥) выпукла вверх, т.е. х = 0 – точка перегиба.

7. Найдем точки пересечения графика с осями координат: с осью Оу график пересекается при х = 0, откуда у = f(0) = 0, т.е. точка пересечения с осью Оу М(0;0) – единственная точка пересечения графика с осями.

Учитывая накопленную информацию, построим график функции.

Вариант 1

1. Вычислите производную .

2. Вычислите производную

3. Вычислите производную

4. Вычислите производную .

5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции при .

6. Исследуйте функцию и постройте ее график.

Вариант 2

1. Вычислите производную .

2. Вычислите производную .

3. Вычислите производную .

4. Вычислите производную .

5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции при .

6. Исследуйте функцию и постройте ее график.

Вариант 3

1. Вычислите производную .

2. Вычислите производную .

3. Вычислите производную .

4. Вычислите производную .

5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции при .

6. Исследуйте функцию и постройте ее график.

Вариант 4

1. Вычислите производную .

2. Вычислите производную .

3. Вычислите производную .

4. Вычислите производную .

5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции при .

6. Исследуйте функцию и постройте ее график.

Вариант 5

1. Вычислите производную .

2. Вычислите производную .

3. Вычислите производную .

4. Вычислите производную .

5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции при .

6. Исследуйте функцию и постройте ее график.

Вариант 6

1. Вычислите производную .

2. Вычислите производную .

3. Вычислите производную .

4. Вычислите производную .

5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции при .

6. Исследуйте функцию и постройте ее график.

Вариант 7

1. Вычислите производную .

2. Вычислите производную .

3. Вычислите производную .

4. Вычислите производную .

5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции при .

6. Исследуйте функцию и постройте ее график.

Вариант 8

1. Вычислите производную .

2. Вычислите производную .

3. Вычислите производную .

4. Вычислите производную .

5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции при

6. Исследуйте функцию и постройте ее график.

Вариант 9

1. Вычислите производную .

2. Вычислите производную .

3. Вычислите производную .

4. Вычислите производную .

5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции при .

6. Исследуйте функцию и постройте ее график.

Вариант 10

1. Вычислите производную .

2. Вычислите производную .

3. Вычислите производную .

4. Вычислите производную .

5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции .

6. Исследуйте функцию и постройте ее график.

Вариант 11

1. Вычислите производную .

2. Вычислите производную .

3. Вычислите производную .

4. Вычислите производную .

5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции при .

6. Исследуйте функцию и постройте ее график.

Вариант 12

1. Вычислите производную .

2. Вычислите производную .

3. Вычислите производную .

4. Вычислите производную .

5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции при .

6. Исследуйте функцию и постройте ее график.

Вариант 13

1. Вычислите производную .

2. Вычислите производную .

3. Вычислите производную .

4. Вычислите производную .

5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции при .

6. Исследуйте функцию и постройте ее график.

Вариант 14

1. Вычислите производную .

2. Вычислите производную .

3. Вычислите производную .

4. Вычислите производную .

5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции при .

6. Исследуйте функцию и постройте ее график.

Вариант 15

1. Вычислите производную .

2. Вычислите производную .

3. Вычислите производную .

4. Вычислите производную .

5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции при .

6. Исследуйте функцию и постройте ее график.

Вариант 16

1. Вычислите производную .

2. Вычислите производную .

3. Вычислите производную .

4. Вычислите производную .

5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции при .

6. Исследуйте функцию и постройте ее график.

Вариант 17

1. Вычислите производную .

2. Вычислите производную .

3. Вычислите производную .

4. Вычислите производную .

5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции при .

6. Исследуйте функцию и постройте ее график.

Вариант 18

1. Вычислите производную .

2. Вычислите производную .

3. Вычислите производную .

4. Вычислите производную .

5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции при ..

6. Исследуйте функцию и постройте ее график.

Вариант 19

1. Вычислите производную .

2. Вычислите производную .

3. Вычислите производную .

4. Вычислите производную .

5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции при .

6. Исследуйте функцию и постройте ее график.

Вариант 20

1. Вычислите производную .

2. Вычислите производную .

3. Вычислите производную .

4. Вычислите производную .

5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции при .

6. Исследуйте функцию и постройте ее график.

Вариант 21

1. Вычислите производную

2. Вычислите производную .

3. Вычислите производную .

4. Вычислите производную .

5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции при .

6. Исследуйте функцию и постройте ее график.

Вариант 22

1. Вычислите производную .

2. Вычислите производную .

3. Вычислите производную .

4. Вычислите производную .

5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции при .

6. Исследуйте функцию и постройте ее график.

Вариант 23

1. Вычислите производную .

2. Вычислите производную .

3. Вычислите производную .

4. Вычислите производную .

5. Найдите наибольшее и наименьшее значения при .

6. Исследуйте функцию и постройте ее график.

Вариант 24

1. Вычислите производную .

2. Вычислите производную .

3. Вычислите производную .

4. Вычислите производную .

5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции при .

6. Исследуйте функцию и постройте ее график.

Вариант 25

1. Вычислите производную .

2. Вычислите производную .

3. Вычислите производную .

4. Вычислите производную .

5. Найдите наибольшее и наименьшее значения функции при .

6. Исследуйте функцию и постройте ее график.