2015-07-14
522
Задание. Найти численное решение задачи вида
| (34) (35) (36) |
1) при помощи явной схемы МКР;
2) при помощи неявной схемы МКР.
Критерии оценки. При выполнении студентом обоих пунктов задания он получает оценку «пять». При невыполнении какого-либо из пунктов оценка снижается.
Найти решение с точностью до 0.0001 на отрезке времени T= 1 /g*, где 
. При использовании явной схемы предварительно определить условие ее устойчивости. При помощи средств пакета Maple построить графики функций 
где x*=0.6, t*=T/10, j=1,2,4. Сравнить результаты, полученные по явной и по неявной схемам МКР. Проверить правильность работы программы на тестовом примере:
Точным решением задачи является ряд
Расчет провести при 
2.2. Явная схема МКР.
Для аппроксимации производной по времени используем одностороннюю разность 
. Действуя аналогично п.1.3, получим следующие вычислительные формулы
| (39) (40) |
Используя описанный в п.1.4 подход, находим, что для устойчивости построенной разностной схемы между шагами по временной и пространственной координатам должно иметь место соотношение
| (41) |
В случае 
принцип замороженных коэффициентов дает
| (42) |
Вычислительный процесс организуется в следующем порядке. После задания шага h по пространственной координате и определения шага t по времени (в соответствии с (41)) находим значения функции u на нулевом слое по времени по формуле (40). Далее значения функции u определяются в цикле по времени по формулам (39) для 
.
2.3. Неявная схема МКР.
Поступая аналогично п.1.5, неявную схему МКР для задачи (2.4) запишем в виде
| (43) |
Задача (43) решается c применением метода прогонки на каждом слое по времени. Опишем по шагам алгоритм решения.
Шаг первый. Вычисление значений функции u на нулевом слое по времени по формуле 
.
Шаг второй (и последующие). Вычисление значений функции u на (j+1) –ом слое по времени (j³0) из уравнений (43) в цикле по j при помощи метода прогонки. Для применения этого процесса перепишем (43) в виде (27), (28), введя обозначения
| (44) |
Кроме этого, из граничных условий в (2.10) имеем
| (45) |
Очевидно, параметры в (44), (45) удовлетворяют условиям (30), что делает возможным применение метода прогонки. Для каждого j = 0,1,2, … вычисление коэффициентов прямой прогонки происходит по формулам (31), а неизвестные 
определяются в ходе обратной прогонки по формулам (32).
Отметим, что, как и в случае волнового уравнения, неявная схема МКР является безусловно устойчивой.
