Модуль 6. Методы решения задач для уравнений в частных производных

Комплексная цель модуля: освоение конечно-разностных методов решения задач математической физики.

Содержание модуля: понятия аппроксимации, сходимости, устойчивости; явная и неявная схемы метода конечных разностей решения задач для уравнений гиперболического и параболического типов.

§ 16. Вычислительные методы решения краевых задач математической физики.

16.1. Разностные схемы для уравнений с частными производными. Основные понятия. Рассмотрим некоторые основные способы построения разностных схем и проверки их устойчивости примерами разностных схем для уравнений с частными производными. При изложении будем следовать [21].

Определение сходимости. Пусть требуется приближенно вычислить решение дифференциальной краевой задачи

(16.1)

поставленной в некоторой области с границей . Для этого следует выбрать дискретное множество точек - сетку, - принадлежащее , ввести линейное нормированное пространство функций, определенных на сетке , установить соответствие между решением и функцией , которую будем считать искомой таблицей решения . Для приближенного отыскания таблицы , которую мы условились считать точным решением задачи (16.1), надо на основе задачи (16.1) составить такую систему уравнений

(16.2)

относительно функции из , чтобы имела место сходимость

при

(16.3)

Если для решения разностной краевой задачи (16.2) выполнено неравенство

то говорят, что сходимость имеет порядок относительно .

Задачу построения сходящейся разностной схемы (16.2) разбивают на две – на построение разностной схемы (16.2), аппроксимирующей задачу (16.1) на решении последней, и на проверку устойчивости схемы (16.2).

Определение аппроксимации. Чтобы это понятие имело смысл, надо ввести норму в пространстве , которому принадлежит правая часть уравнения (16.2). По определению, разностная задача (16.2) аппроксимирует задачу (16.1) на решении , если в равенстве

невязка , возникающая при подстановке в разностную краевую задачу (16/2), стремится к нулю при :

Если

где не зависит от , то аппроксимация имеет порядок относительно .

Построим, например, для задачи Коши

(16.4)

одну из аппроксимирующих ее разностных схем. Задача (16.4) записывается в форме (16.1), если положить

В качестве сетки (рис. 16.1) используем совокупность точек пересечения прямых

, , ,

где , - некоторые числа, a - целая часть дроби . Будем считать, что шаг связан с шагом зависимостью , где , так что сетка зависит только от одного параметра . Искомой сеточной функцией является таблица значений решения задачи (16.4) в точках сетки .

Рис. 16.1

Перейдем к построению аппроксимирующей задачу (16.4) разностной схемы (16.2). Значения сеточной функции в точках сетки будем обозначать . Схему (16.2) получим, приблизив производные и разностными отношениями

(16.4′)

Эта схема имеет вид

(16.5)

Оператор и правая часть для схемы (16.5) задаются соответственно равенствами

Таким образом, - это пара сеточных функций и , одна из которых задана на двумерной сетке

, ,

(см. рис. 16.1), а другая – на одномерной

Разностное уравнение (16.5) можно разрешить относительно , получив

(6)

Итак, зная значения , , решения в точках сетки при , можно вычислить значения в точках сетки при . Поскольку значения при заданы равенствами , мы можем шаг за шагом вычислить значения решения в точках сетки на прямых , и т.д., т.е. всюду на .

Перейдем к выяснению порядка аппроксимации, которым обладает схема (16.5). За можно принять линейное пространство всех пар ограниченных функций , положив

Норма, в которой рассматривается аппроксимация, может быть выбрана многими способами и выбор этот небезразличен. Пока нам будет достаточно в качестве нормы брать верхнюю грань модулей всех компонент, образующих элемент пространства . Будем иметь в виду всюду в этом параграфе именно такую норму.

Предположим, что решение задачи (16.4) имеет ограниченные вторые производные. Тогда по формуле Тейлора

(16.7)

где и - некоторые числа, зависящие от , и и удовлетворяющие неравенствам , .

С помощью формул (16.7) выражение

можно записать в виде

или

где

Следовательно,

Таким образом, рассматриваемая разностная схема (16.5) имеет первый порядок аппроксимации относительно на решении , обладающем ограниченными вторыми производными.

Определение устойчивости. Дадим и проиллюстрируем теперь определение устойчивости. Разностная краевая задача (16.2), по определению, устойчива, если существуют числа и такие, что при любом и любом из , удовлетворяющее неравенству , разностная краевая задача

имеет одно и только одно решение, причем выполняется условие

где - некоторая постоянная, не зависящая от .

Можно показать, что в случае линейного оператора сформулированное определение равносильно следующему.

Определение. Разностная краевая задача (16.2) устойчива, если существует такое, что при и любом она однозначно разрешима, причем

(16.8)

где - некоторая постоянная, не зависящая от и от .

Свойство устойчивости можно трактовать как равномерную относительно чувствительность решения разностной краевой задачи (16.2) к возмущению правой части.

Подчеркнем, что в силу приведенного определения устойчивость есть некоторое внутреннее свойство разностной краевой задачи. Оно формулируется независимо от какой-либо связи с дифференциальной краевой задачей, в частности независимо от аппроксимации или сходимости.

Сформулируем без доказательства важную теорему: если разностная краевая задача аппроксимирует на решении и дифференциальную и устойчива, то имеет место сходимость (16.3). При этом порядок относительно скорости сходимости совпадает с порядком аппроксимации.

Покажем, что разностная схема (16.5) при устойчива. При этом норму определим равенством

Норму будем понимать, как выше: если ,

то

Разностную задачу

(16.5′)

которая отличается от задачи (16.5) только тем, что и - произвольные правые части, вообще говоря, не совпадающие с и , перепишем в форме

(16.6′)

Поскольку , то . В этом случае справедлива оценка

Используя эту оценку, выводим из (16.6′) неравенство

(16.6′′)

Отметим, что в случае из неравенства (16.6′′) следует, что не возрастает с ростом . Отмеченное свойство разностной схемы принято называть принципом максимума. Для краткости будем иногда пользоваться этим названием для всего неравенства

Правая часть этого неравенства не зависит от , так что в левой части вместо можно написать , получив неравенство

Аналогично получаем неравенства

...................,

После почленного сложения этих неравенств и приведения подобных членов получим

Отсюда непосредственно следует

Доказанное неравенство

имеет место для всех , так что оно остается справедливым, если вместо написать :

(16.9)

Неравенство (16.9) означает устойчивость линейной задачи (16.5), поскольку существование и единственность решения задачи (16.6′) при произвольных ограниченных и , очевидно, имеют место. Роль постоянной в неравенстве (16.8) играет здесь число .

Не следует думать, что одна только аппроксимация дифференциальной краевой задачи (16.1) разностной краевой задачей обеспечивает устойчивость и, следовательно, сходимость (16.3).

В случае уравнений с частными производными непригодность наудачу взятой аппроксимирующей разностной схемы является правилом, а выбор устойчивой (и, следовательно, сходящейся) разностной схемы – постоянной заботой вычислителя.

Напомним, например, что доказательство устойчивости разностной схемы (16.5) мы провели в предположении, что . В случае разностная задача (16.5) по-прежнему аппроксимирует задачу (16.4), но наше доказательство устойчивости не проходит.