Применение степенных рядов

1. Приближенное вычисление значений функций с определённой точностью.
2. Вычисление пределов.
3. Вычисление «неберущихся» интегралов.
4. Интегрирование дифференциальных уравнений.

Теорема Вейерштрасса о равномерном приближении непрерывной функции многочленами.

Так как последовательность частичных сумм степенного ряда представляет собой многочлены всё возрастающих степеней, то всякая функция f (x), разлагающаяся в степенной ряд, может быть приближенно представлена многочленом с любой степенью точности.

Другими словами: Если функция f (x) представима степенным рядом, радиус сходимости которого R, то для любого положительного r < R и любого ε >0 существует многочлен, отличающийся от f (x) менее чем на ε для всех x из отрезка [- r, r ]. Мы не можем это утверждать для интервала (- R, R), так как на нём сходимость ряда может быть неравномерной.

Обратное утверждение не очевидно.

Из того, что функция f (x) на данном отрезке [ a, b ] может быть представлена в виде многочлена с любой наперёд заданной степенью точности, ещё не возникает её разложимость в степенной ряд.

Известно, что разложение в степенные ряды допускает сравнительно узкий класс функций. В состав этого класса входит даже не всякая функция, имеющая производную всех порядков.

Необходимым и достаточным условием приближённого представления функции в виде многочлена является её непрерывность. То есть функции нигде не дифференцируемые допускают приближённое представление.