Общие сведения

Для расчета количественных показателей надежности восстанавливаемых объектов применяют различные методы. Некоторые из них уже устоялись, другие продолжают развиваться, третьи только зарождаются. Из наиболее употребляемых в настоящее время методов можно назвать следующие: методы, основанные на использовании классической теории вероятностей (например, логико-вероятностный метод); методы, основанные на использовании теории массового обслуживания (в частности, метод пространства состояний); методы, основанные на использовании теории графов.

Следует отметить, что деление методов расчета достаточно условно, т.к. в пределах каждого метода могут использоваться разделы из других методик.

Для того чтобы рассчитать надежность системы методом пространства состояний, сначала рассматривают состояние системы, которое определяется состоянием каждого элемента: элемент либо работает, либо отказал, или находится еще в каком-либо состоянии. Состояния такой системы под воздействием потоков отказов и восстановлений могут меняться во времени. В общем случае можно говорить о некоторой системе, которая в процессе функционирования может менять свои состояния. Все возможные состояния системы образуют пространство состояний.

При использовании метода пространства состояния для описания процесса переходов системы из одного состояния в другое применяют модели Маркова. Строго обосновать применение этого метода можно при следующих предположениях: 1) если каждый из элементов системы имеет экспоненциальное распределение времени безотказной работы; 2) вероятность перехода из одного состояния в другое не должно зависеть от предыстории системы, т.е. от состояний, в которых система находилась ранее. На практике эти предположения могут не выполняться, но все равно применяют указанные предположения.

Случайный процесс называется марковским, если для любого момента времени t_i вероятность любого состояния системы в будущем (при t>t_i) зависит только от её состояния S_t в момент t_i. и не зависит от того, когда и как система пришла в состояние Si. (не зависит от предыстории системы). Марковский процесс с дискретными состояниями и дискретным временем называют цепью Маркова.

В теории надежности широкое применение находят марковские процессы с дискретными состояниями и непрерывным временем. Для непрерывного марковского процесса сумма вероятностей состояний для любого промежутка времени равна единице:

(1)

При изучении случайных процессов с дискретными состояниями и непрерывным временем в теории надежности считают, что переходы системы из одного состояния в другое происходят под воздействием потоков отказов и восстановлений, а переходы из состояния S_i. В состояние S_j описывают при помощи их интенсивностей λ_ij(t).

Процесс изменения состояний можно проиллюстрировать с помощью графа состояний системы (рис. 1). Граф задается множеством точек или вершин и множеством линий или ребер, соединяющих между собой все или часть точек.

Если ребра ориентированы, что обычно показывается стрелкой, то они называются дугами, и граф с такими ребрами называется ориентированным графом, если ребра не имеют ориентации, то граф называется неориентированным. Вершины графа обозначаются номерами состояний (в простейшем случае таких состояний будет два: 0 – система работоспособна, 1 – система в состоянии отказа), дуги графа показывают направления переходов системы из одного состояния в другое.

Рисунок 1. Граф состояний системы

Пример расчета показателей надежности при использовании метода пространства состояния для описания процесса переходов системы из одного состояния в другое применяют модели Маркова

Провести расчет надежности системы, состоящей из двух элементов (рис. 2), если они могут находиться в четырех состояниях Состояние S₀ -два элемента «а» и «б», входящие в систему работоспособны; состояние S₁ —элемент «а» отказал, элемент «б» работает; S₂ — элемент «а» работает, «б» отказал; S₃ — оба элемента «а» и «б», входящие в систему, находятся в отказовом состоянии. Время безотказной работы и время восстановления имеют экспоненциальное распределение с параметрами λ и µ соответственно.

Решение. Для графа состояний составляется система дифференциальных уравнений

Рисунок 2. Граф состояний системы

(2)

Найдем стационарные значения вероятностей, для этого от дифференциальных уравнений переходим к алгебраическим

(3)

Заменяя одно из этих уравнений выражением , получаем систему из трех независимых уравнений. Решение системы записывается в виде:

(4)

Так как λ=1/Т, µ=1/Т_В, то подставляя эти значения в формулу для нахождения р_0,получаем р₀ = К_ГаК_Г6.

Остальные значения вероятностей выразить через коэффициенты готовности и вынужденного простоя самостоятельно.

Инженерная методика расчета показателей надежности

Основными допущениями метода, основанного на теории марковских процессов, являются:

¾ время безотказной работы и время восстановления каждого элемента, входящего в систему, имеют экспоненциальное распределение вероятностей;

¾ функционирование системы контролируется непрерывно, т. е. момент отказа обнаруживается немедленно после его возникновения;

¾ восстановление элемента начинается сразу после его отказа при наличии свободной бригады, обслуживающей данный элемент; при отсутствии свободной ремонтной бригады отказавший элемент становится в очередь на обслуживание.

Метод позволяет рассчитать надежность невосстанавливаемых и восстанавливаемых, нерезервированных и структурно-резервированных технических систем при любом состоянии резерва (ненагруженном, облегченном, нагруженном), при любом количестве ремонтных бригад и произвольной дисциплине обслуживания с учетом сделанных ранее допущений. Метод позволяет вычислять следующие характеристики надежности систем: вероятность без отказной работы, среднее время безотказной работы, функцию и коэффициент готовности, наработку на отказ, среднее время восстановления.

Инженерная методика анализа надежности технической системы, основанная на теории марковских процессов, состоит из следующих этапов:

1. Формулировка понятия "отказ" и представление исходных данных.

Отказ является понятием субъективным, поэтому его определение для конкретной системы согласуется с заказчиком. Исходными данными для расчета показателей надежности являются: структурная схема системы (схема расчета надежности), интенсивности отказов и восстановлений каждого элемента, количество ремонтных бригад, приоритет обслуживания, время непрерывной работы, начальное состояние процесса функционирования системы.

2. Построение графа состояний.

Порядок построения графа состояний приведен выше. В соответствии с принятым понятием отказа множество всех состояний Е разбивается на множество работоспособных состояний Е+ и множество отказовых со стояний Е_. Если система работает только до первого отказа и вычисляются показатели P(t) и Т1, то в графе отсутствуют ветви из всех отказовых состояний.

3. Составление по графу системы линейных дифференциальных и/или алгебраических уравнений.

По виду графа формально записывается система линейных дифференциальных уравнений для вероятностей pi{t) пребывания системы в момент времени t в состоянии i. Проверяется правильность составления системы дифференциальных уравнений: если сумма правых частей равна нулю, то считается, что система составлена правильно.

Для определения вероятности безотказной работы следует ограничиться составлением уравнений только для исправных состояний системы.

4. Решение систем уравнений и определение вероятностей состояний системы.

Вероятности состояний pi(t) определяются путем решения системы любым из известных математических методов. Часто бывает удобно использовать метод преобразования Лапласа.