Предел и непрерывность функции нескольких переменных

Введем понятие d -окрестности точки М ₀ (х₀, у₀) на плоскости О ху как круга радиуса d с центром в данной точке. Аналогично можно определить d -окрестность в трехмерном пространстве как шар радиуса d с центром в точке М ₀ (х₀ , у₀, z₀). Для n -мерного пространства будем называть d -окрестностью точки М ₀ множество точек М с координатами , удовлетворяющими условию

координаты точки М ₀. Иногда это множество называют «шаром» в n -мерном пространстве.

Число А называется пределом функции нескольких переменных в точке М 0, если такое, что | f(M) – A | < ε для любой точки М из δ-окрестности М 0.

Обозначения:

Необходимо учитывать, что при этом точка М может приближаться к М ₀, условно говоря, по любой траектории внутри d -окрестности точки М ₀. Поэтому следует отличать предел функции нескольких переменных в общем смысле от так называемых повторных пределов, получаемых последовательными предельными переходами по каждому аргументу в отдельности.