Примеры

1. Покажем, что функция

не имеет предела при М, стремящемся к О (0,0). Действительно, если в качестве линии, по которой точка М приближается к началу координат, выбрать прямую у = х, то на этой прямой

Если же траекторией движения считать прямую у = 2 х, то

Следовательно, предел в точке (0,0) не существует.

2. Найдем повторные пределы функции

Если же произвести предельные переходы в обратном порядке, получим:

Таким образом, повторные пределы оказались различными (откуда следует, конечно, что функция не имеет в точке (0,0) предела в обычном смысле).

Замечание. Можно доказать, что из существования предела в данной точке в обычном смысле и существования в этой точке пределов по отдельным аргументам следует существование и равенство повторных пределов. Обратное утверждение неверно.

Функция называется непрерывной в точке М 0 если

Если ввести обозначения

то это условие можно переписать в форме

Внутренняя точка М0 области определения функции z = f (M) называется точкой разрыва функции, если в этой точке не выполняется условие

Замечание. Множество точек разрыва может образовывать на плоскости или в пространстве линии или поверхности разрыва.

Примеры.

1. Функция z = x ² + y ² непрерывна в любой точке плоскости О ху. Действительно,

поэтому

2. Единственной точкой разрыва функции

является точка (0,0).

3. Для функции

линией разрыва является прямая х + у = 0.

Свойства пределов и непрерывных функций

Так как определения предела и непрерывности для функции нескольких переменных практически совпадает с соответствующими определениями для функции одной переменной, то для функций нескольких переменных сохраняются все свойства пределов и непрерывных функций, доказанные в первой части курса, а именно:

1) Если существуют

то существуют и

2) Если

и для любого i существуют пределы

и существует

то существует и предел сложной функции

координаты точки Р ₀.

3) Если функции f(M) и g(M) непрерывны в точке М ₀, то в этой точке непрерывны и функции f(M) + g(M), kf(M), f(M)·g(M), f(M)/g(M) (если g(M ₀) не равно нулю).

4) Если функции

непрерывны в точке

а функция

непрерывна в точке

то сложная функция

непрерывна в точке Р₀.

5) Функция

непрерывная в замкнутой ограниченной области D, принимает в этой области свое наибольшее и наименьшее значения.

6) Если функция

непрерывная в замкнутой ограниченной области D, принимает в этой области значения А и В, то она принимает в области D и любое промежуточное значение, лежащее между А и В.

7) Если функция

непрерывная в замкнутой ограниченной области D, принимает в этой области значения разных знаков, то найдется по крайней мере одна точка из области D, в которой f = 0.