Гладкие кривые

«Все умные места кривые.» Мераб Мамардашвили

Кривые Безье и NURBS-кривые выбраны в качестве средств векторной графики из-за возможности простого управления их гладкостью. Гладкость означает, что при моделировании на кривой не образуется петель и резких преломлений (тем более разрывов). Но при этом, не исключена возможность создания, как гладкого сопряжения, так и изгибов, например острых углов.

Примером такого сочетания гладких кривых и острых преломлений служат профили авиакрыла. Что же такое гладкость кривых?.

Пример. Продолжая рассматривать пример частицы, которая перемещается по кривой, должно обеспечиваться требование: у нее на пути вдоль параметрической кривой не должно быть остановок (кроме начала и конца) и внезапного изменения направления.

Для того чтобы представить такое направление движения частицы, можно мысленно "укрепить" на ней стрелку, которая непрерывно указывает направление движения вдоль параметрической кривой.

На математическом языке стрелка на частице называется касательной. Если касательная в соседних точках не меняет внезапно своего направления, такую кривую считают гладкой (рис. 1.3).

Если "на кривой имеется излом, то направление касательной в точке Q меняется практически мгновенно (рис. 1.4).

Рис. 1.3. Касательная на гладкой кривой

Рис. 1.4. Касательная на кривой с изломом

Теперь требуется подробнее познакомиться с основами построения гладких кривых, применяющихся в векторной компьютерной графике. Начнем с NURBS-кривых, которые являются более общим (а соответственно, и более сложным) случаем таких кривых.