Формули Френе

1. ; 2. ; 3. .

Перша формула Френе була отримана в розгляді кривини кривої (13), третя формула – в розгляді скруту (20).

Доведемо формулу 2, використовуючи наведені вище формули 1 і 3 та правило диференціювання векторного добутку:

;

.

Оскільки , , маємо: .

Формули Френе мають фундаментальне значення в теорії кривих.

Контрольні питання до теми 4

1. Опишіть процес знаходження довжини дуги кривої. Яка крива називається спрямною? Що називається довжиною дуги кривої?

2. Запишіть формулу обчислення довжини дуги гладкої кривої.

3. Яка параметризація називається натуральною? Сформулюйте її визначну властивість.

4. Порівняйте, що і як саме характеризують кривина і скрут просторової кривої. Дайте їх означення. Якими векторами визначаються кривина і скрут?

5. Сформулюйте і доведіть теореми про кривину і скрут регулярної кривої, заданої натуральною параметризацією.

6. Поясніть спосіб отримання формул для обчислення кривини і скруту кривої в довільній параметризації.

7. Запишіть формули обчислення кривини і скруту кривої в довільній параметризації.

8. Запишіть формулу обчислення кривини плоскої кривої в довільній параметризації. Чому дорівнює скрут плоскої кривої?

9. Виведіть формули Френе-Серре.