Уравнение Шрёдингера и его применение к свободному электрону

Построение строго математического аппарата квантовой механики невозможно без уравнения, которое позволило бы по заданным внешним силовым полям и начальным условиям описывать движение частицы в пространстве и во времени.

Поскольку состояние квантовой частицы задается волновой функцией (x,y,z,t), точнее величиной | (x,y,z,t) |², определяющей плотность вероятности нахождения частицы в момент времени t в точке с координатами (x,y,z), то искомое уравнение должно быть уравнением относительно функции . Это уравнение должно обладать некоторыми чертами, присущими волновому уравнению для упругих волн, поскольку оно призвано учитывать волновые свойства микрочастиц.

Уравнение, удовлетворяющее перечисленным требованиям, было сформулировано в 1926г. австрийским физиком Шрёдингером (1887-1961) и называется уравнением Шрёдингера:

− , (6.7)

где i = - мнимая единица; m -- масса частицы; ∆ − оператор Лапласа, который в декартовой системе имеет вид = , U(x,y,z,t) – потенциальная энергия частицы во внешнем силовом поле в точке (x,y,z) (Нобелевская премия по физике присуждена Шрёдингеру в 1933г.), тогда

Уравнение (6.7) было именно найдено, оно является новым фундаментальным законом, который невозможно вывести из прежних теорий. Справедливость этого уравнения установлена тем, что все вытекающие из него следствия подтверждены экспериментом. Если функция U не зависит явно от времени, т.е. U ≠ f(t), то она имеет смысл потенциальной энергии микрочастицы. Вид - функции для конкретной микрочастицы определяется именно потенциальной энергией U. В этом случае уравнение Шрёдингера несколько упрощается, так как - функцию можно представить в виде произведения двух сомножителей, один из которых зависит только от координат, а другой − только от времени:

, (6.8)

где Е - полная энергия частицы. Подставим полученное выражение для

-функции в уравнение (6.7):

− .

После деления уравнения на множитель имеем:

Полученноесоотношение называется уравнением Шрёдингера для стационарных состояний (поле стационарно, когда его характеристики не зависят от времени, например, для состояний с фиксированными значениями энергии). Это уравнение часто записывают в виде:

. (6.9)

В стационарных состояниях ни одна из квантовомеханических вероятностей не изменяется с течением времени. Средние значения всех физических величин также не зависят от времени. В частичности, постоянным во времени оказывается среднее значение координаты < x >. Стационарность состояние не исключает зависимость волновой функции от времени, а только ограничивает ее множителем . Состояние (6.9) стационарно, так как равен единице модуль множителя ,то есть

Поэтому плотность распределение координат частиц от времени не зависит. В стационарном состоянии плотность вероятности выражается только через функцию . Поэтому функцию также называется волновой функцией, хотя, строго говоря, она является только координатной частью всей волновой функции ( x,y,z ,t ) стационарного состояния.

Применение к свободному электрону. Рассмотрим применение уравнения Шрёдингера к свободной частице, движущейся вдоль оси ОX,(например, к свободному электрону, т.е. к электрону, не испытывающему взаимодействия). В этом случае потенциальная энергия свободно движущейся частицы U= 0, и уравнение Шрёдингера принимает вид:

Согласно гипотезеде Бройля движение такого микрообъекта моделируется плоской монохроматической волной, занимающей все пространство: .Для свободной частицы, движущейся вдоль оси ОX волновая функция будет иметь следующий вид:

, (6.10)

где -амплитуда волны. Круговая частота ω и волновое число k связаны с полной энергией Е и импульсом p соотношениями: Е = ћω; p = ћk, отсюда ω = ; k = . Тогда волноваяфункция(6.10) приобретает вид:

(6.11)

Покажем что данный вид -функции удовлетворяет уравнению Шрёдингера (6.4). Для этого: 1).Найдем ∆ и выразим P²:

(6.12) 2)Найдем и из полученного выражения определим полную энергию Е:

. (6.13)

3) Воспользуемся соотношением между энергией частицы Е и импульсом p:

= . (6.14)

Подставим значения Е и Р из (6.12) и (6.13) в (6.14):

, или

− .

→ .

Полученное соотношение совпадает с уравнением Шрёдингера (6.7) для случая U =0.

Обоснуем справедливость вида волновой функции (6.8) и для случая движения частицы в силовом поле, то есть, когда потенциальная энергия частицы U≠0. В этом случае выражение

(6.12) определяет энергию движения частицы (аналог кинетической энергии в классической механике). Подставим значения Е и Р из (6.9) и (6.10) в (6.12):