2015-07-14
18473
Рассмотрим теперь квантово-механическую теорию атомов. Она сохраняет некоторые аспекты старой теории Бора. Например, электроны могут находиться в атоме только в дискретных состояниях с определенной энергией; при переходе электрона из одного состояния в другое испускается или поглощается фотон. Согласно квантовой механике, не существует определенных круговых орбит электронов, как в теории Бора. В силу волновой природы электрон «размазан» в пространстве, подобно «облаку» отрицательного заряда.
Применим уравнение Шредингера к электрону, находящемуся в атоме водорода.
Решение задачи об энергетических уровнях электрона для водорода, а также водородоподобных систем сводится к задаче о движении электрона в кулоновском поле ядра. Потенциальная энергия взаимодействия электрона с ядром, обладающим зарядом Ze (для атома водорода Z = 1), определяется выражением 
(21.20)
и зависит только от r – расстояния между электроном и протоном, поэтому задачу с таким видом потенциальной энергии обычно решают в сферической системе координат. В общем случае волновая функция является функцией от всех координат и уравнение Шредингера будет иметь вид:
. (21.21)
Электрон в атоме находится в потенциальной яме, края которой имеют форму гиперболы (рис.21.5).
Очевидно, что решение этой задачи должно быть подобно решению задачи, когда частица находилась в бесконечно глубокой одномерной потенциальной яме с прямоугольными краями.
Так как электрическое поле – центрально-симметрично, то для решения этого уравнения воспользуемся сферической системой с координатами (r, θ, φ),
Рис.21.5.
которые связаны с декартовыми координатами, как это следует из рис. 21.6, соотношениями: x = r sin θ cos φ; y = r sin θ sin φ; z = r cosθ.
Рис. 21.6
Подставив в (21.23) выражение оператора Лапласа в сферических координатах, получим уравнение Шредингера в следующем виде:
. (21.22)
Строгое решение уравнения (21.22) в соответствии с теорией дифференциальных уравнений дает следующие результаты. Электрон в атоме обладает не произвольным значением энергии, а набором определенных отрицательных дискретных значений E n:
, (21.23)
где n – главное квантовое число, принимающее значения 1,2,3.…,∞. Из (21.23) следует, что именно главное квантовое число определяет энергию электрона в атоме: En ~ 
. Выражение для значений энергий En (21.23) полностью совпадает с результатами теории Бора (19.15). Для атома водорода значение n = 1 соответствует основному состоянию электрона, значение n = ∞ – свободному электрону (E∞ = 0). Отрицательные значения энергии соответствуют связанному состоянию электрона, когда он находится внутри потенциальной ямы и имеет большие отрицательные значения потенциальной энергии (21.20). Положительными значениями энергии электрон обладает в свободном состоянии, когда он покидает пределы атома, и его энергетический спектр становится непрерывным, т.е. область E > 0 соответствует ионизированному атому.
Оказывается, что одному и тому же значению энергии электрона соответствует несколько различных состояний с разными волновыми функциями, соответствующими различным типам движения электрона. Эти типы движения различаются разными значениями орбитального момента импульса и его проекцией на физически выделенное направление Z, совпадающее с направлением вектора напряженности внешнего магнитного поля.
В квантовой механике доказывается, что уравнению Шредингера удовлетворяют собственные функции Ψ n l m s, определяемые набором четырех квантовых чисел: главного n, орбитального l, магнитного m и спинового m s.
Момент импульса частицы 
относительно начала координат О (центр орбиты электрона на рис. 21.7) в классической механике определяется векторным произведением 
, где вектора 
и 
являются соответственно радиус-вектором частицы и ее импульсом.
Модуль магнитного момента тока, создаваемого движущимся по орбите электроном, равен 
. (21.26)
Здесь T – период обращения электрона по орбите, V – его скорость, I − орбитальный ток, S − площадь орбиты.
Магнитный момент 
обусловлен движением электрона по орбите,
Рис. 21.7
вследствие чего называется орбитальным магнитным моментом электрона.
Электрон обладает массой m e, поэтому при движении по орбите он обладает моментом импульса 
, модуль которого 
. (6.25)
Вектор 
называют орбитальным механическим моментом электрона. Он образует с направлением движения электрона правовинтовую систему. Следовательно, направление векторов 
и противоположны (рис. 21.7).
Отношение магнитного момента элементарной частицы к ее механическому моменту называется орбитальным гиромагнитным отношением. Для электрона оно равно 
. (21.26)
Такая связь между векторами сохраняется и в теории Бора. Поскольку направления векторов и противоположны, 
. (21.27)
В квантовой механике модуль момента импульса 
движущейся микрочастицы определяется выражением:
(21.28)
. Здесь 
– орбитальное квантовое число. Величина является дискретной (квантовой).
В квантовой механике строго доказывается (это следует из решения уравнения Шредингера), что проекция (L Z) вектора на направление вектора напряженности внешнего магнитного поля 
, совмещенного с осью Z, может принимать лишь целочисленные значения, кратные постоянной 
: Lz = mħ. (21.29)
Проекция любого вектора не может быть больше модуля этого вектора, т.е. 
. Поэтому в соответствии с выражениями (21.28) и (21.29) имеем:
, (21.30)
Следовательно, максимальное значение 
равно , тогда 
. При заданном число т принимает 
значений: 
, которые образуют спектр проекций 
на любую выделенную ось 
, т.е. вектор 
может принимать (2 l + 1) ориентаций в пространстве (рис. 21.8).
Таким образом, квантовое число определяет как модуль момента импульса, так и все возможные значения его проекции на ось . На рис. 6.8 показаны возможные ориентации вектора 
и его проекции на выделенное направление магнитного поля. Например, когда орбитальное квантовое число 
(средний рисунок 6.8), то 
; 0; 
.
Приведенные результаты, определяющие возможные значения и 
, т.е. дискретность в ориентации вектора , называют пространственным квантованием.
Пространственное квантование на рис. 21.8 представлено лишь схематически (графически): по оси откладывают возможные значения mћ, рассматривая их как проекции на ось вектора длины 
.
На рис. 21.8 показаны возможные ориентации вектора 
в состояниях s, p, d.
Рис.21.8
Согласно выражениям (21.27), (21.28), (21.29) дискретный спектр разрешенных значений величины модуля орбитального магнитного момента Pm и его проекции на выделенное направление Z для движущегося электрона определяются как
и (21. 31)
. (21. 32)
Ориентация вектора 
в пространстве изображается аналогично вектору , приведенному на рис. 21.8.
